Страница 13 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

14 Прямые $MN$ и $PQ$ скрещивающиеся. Докажите, что прямые $MQ$ и $NP$ также скрещивающиеся.

Доказательство.

Допустим, что прямые $MQ$ и $NP$ не _________.

Тогда они лежат в некоторой плоскости $\beta$. Так как $M \in \beta$, $N \in \beta$ и $P \in \beta$, $Q \in \beta$, то, согласно _________, прямые _________ также будут _________.

Но это противоречит условию. Значит, прямые $MQ$ и $NP$ _________.

Доказательство.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного, следуя логике, предложенной в задании.

Допустим, что прямые $MQ$ и $NP$ не скрещивающиеся. Если две прямые в пространстве не являются скрещивающимися, то они либо пересекаются, либо параллельны. В любом из этих случаев они лежат в одной плоскости.

Тогда они лежат в некоторой плоскости $\beta$. Из этого следует, что все точки данных прямых принадлежат плоскости $\beta$. В частности, точки $M, Q$ (принадлежащие прямой $MQ$) и точки $N, P$ (принадлежащие прямой $NP$) лежат в плоскости $\beta$. Таким образом, все четыре точки $M, N, P, Q$ оказываются в одной плоскости.

Так как $M \in \beta$, $N \in \beta$ и $P \in \beta$, $Q \in \beta$, то, согласно аксиоме о принадлежности прямой плоскости (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), прямые $MN$ и $PQ$ также будут лежать в этой плоскости $\beta$.

Но это противоречит условию задачи, в котором говорится, что прямые $MN$ и $PQ$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным. Значит, прямые $MQ$ и $NP$ скрещивающиеся.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $MQ$ и $NP$ являются скрещивающимися.

15 Прямая $c$ пересекает прямую $a$ и не пересекает прямую $b$, параллельную прямой $a$. Докажите, что $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые (задача 36 учебника).

Доказательство.

Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой _______ $\beta$, так как _______. $M \in a$, поэтому $M \in \beta$, но $M \notin b$, так как _______. Прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$, так как в противном случае она пересекала бы _______, а по условию _______.

Итак, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает _______ в точке $M \notin b$, поэтому, согласно _______, прямые $b$ и $c$ —

Доказательство.
Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как они параллельны.
Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).
При этом точка $M$ не лежит на прямой $b$ ($M \notin b$), так как по условию прямая $c$ (которой принадлежит точка $M$) не пересекает прямую $b$.
Теперь докажем, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$. Предположим обратное: пусть прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда в плоскости $\beta$ лежат две параллельные прямые $a$ и $b$ и прямая $c$, пересекающая прямую $a$. По свойству параллельных прямых на плоскости, если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Следовательно, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$. Это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$.
Таким образом, прямая $c$ имеет с плоскостью $\beta$ только одну общую точку $M$, то есть пересекает её.

Итак, мы установили, что прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает эту плоскость в точке $M$, которая не принадлежит прямой $b$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

Заполнение пропусков в тексте из задания:
Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как они параллельны. $M \in a$, поэтому $M \in \beta$, но $M \notin b$, так как прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$, так как в противном случае она пересекала бы прямую $b$, а по условию она не пересекает прямую $b$.
Итак, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает эту плоскость в точке $M \notin b$, поэтому, согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Ответ: доказано, что прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы .

Дано: углы $O$ и $O_1$ с соответственно сонаправленными сторонами.

Доказать: $\angle O = \angle O_1$.

Доказательство. На сторонах углов $O$ и $O_1$ отложим равные отрезки $OA$ и $O_1A_1$, $OB$ и $O_1B_1$. Четырехугольник $OO_1A_1A$ — параллелограмм, так как , поэтому $AA_1 \parallel OO_1$ и $AA_1 = $ . Четырехугольник $OBB_1O_1$ , так как , поэтому $BB_1 \parallel OO_1$ и $BB_1 = $ .

Итак, $AA_1 \parallel OO_1$ и $BB_1 \parallel OO_1$, следовательно, по теореме $AA_1 \parallel $ .

Кроме того, $AA_1 = BB_1$, так как , поэтому четырехугольник $ABB_1A_1$ , и значит, $AB = $ .

Таким образом, $\triangle AOB = $ по , поэтому $\angle O = \angle O_1$.

Теорема доказана.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Ответ: равны.

Доказательство. На сторонах углов $O$ и $O_1$ отложим равные отрезки $OA$ и $O_1A_1$, $OB$ и $O_1B_1$. Четырехугольник $OAA_1O_1$ — параллелограмм, так как его стороны $OA$ и $O_1A_1$ параллельны (так как лучи сонаправлены) и равны (по построению), поэтому $AA_1 \parallel OO_1$ и $AA_1 = $ $OO_1$.
Ответ: его стороны $OA$ и $O_1A_1$ параллельны и равны; $OO_1$.

Четырехугольник $OBB_1O_1$ — параллелограмм, так как его стороны $OB$ и $O_1B_1$ параллельны и равны, поэтому $BB_1 \parallel OO_1$ и $BB_1 = $ $OO_1$.
Ответ: параллелограмм; его стороны $OB$ и $O_1B_1$ параллельны и равны; $OO_1$.

Итак, $AA_1 \parallel OO_1$ и $BB_1 \parallel OO_1$, следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей, $AA_1 \parallel$ $BB_1$.
Ответ: о двух прямых, параллельных третьей; $BB_1$.

Кроме того, $AA_1 = BB_1$, так как они равны отрезку $OO_1$, поэтому четырехугольник $ABB_1A_1$ — параллелограмм, и значит, $AB = $ $A_1B_1$.
Ответ: они равны отрезку $OO_1$; параллелограмм; $A_1B_1$.

Таким образом, $\Delta AOB = $ $\Delta A_1O_1B_1$ по трем сторонам (SSS), поэтому $∠O = ∠O_1$.
Ответ: $\Delta A_1O_1B_1$; трем сторонам.