Номер 15, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

15 Прямая $c$ пересекает прямую $a$ и не пересекает прямую $b$, параллельную прямой $a$. Докажите, что $b$ и $c$ — скрещивающиеся прямые (задача 36 учебника).

Доказательство.

Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой _______ $\beta$, так как _______. $M \in a$, поэтому $M \in \beta$, но $M \notin b$, так как _______. Прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$, так как в противном случае она пересекала бы _______, а по условию _______.

Итак, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает _______ в точке $M \notin b$, поэтому, согласно _______, прямые $b$ и $c$ —

Доказательство.
Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как они параллельны.
Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).
При этом точка $M$ не лежит на прямой $b$ ($M \notin b$), так как по условию прямая $c$ (которой принадлежит точка $M$) не пересекает прямую $b$.
Теперь докажем, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$. Предположим обратное: пусть прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$. Тогда в плоскости $\beta$ лежат две параллельные прямые $a$ и $b$ и прямая $c$, пересекающая прямую $a$. По свойству параллельных прямых на плоскости, если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Следовательно, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$. Это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$.
Таким образом, прямая $c$ имеет с плоскостью $\beta$ только одну общую точку $M$, то есть пересекает её.

Итак, мы установили, что прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает эту плоскость в точке $M$, которая не принадлежит прямой $b$. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

Заполнение пропусков в тексте из задания:
Пусть прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. Прямые $a$ и $b$ лежат в некоторой плоскости $\beta$, так как они параллельны. $M \in a$, поэтому $M \in \beta$, но $M \notin b$, так как прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Прямая $c$ не лежит в плоскости $\beta$, так как в противном случае она пересекала бы прямую $b$, а по условию она не пересекает прямую $b$.
Итак, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ пересекает эту плоскость в точке $M \notin b$, поэтому, согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Ответ: доказано, что прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.