Номер 17, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

17. В пространственном четырехугольнике $ABCD$ $AB = CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$ (задача 47 учебника).

Доказательство. Середины отрезков $BC, AD$ и $AC$ обозначим буквами $M, N$ и $P$. Так как отрезок $MP$ — средняя линия $\triangle ABC$, то $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$, и поэтому угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу $\angle PMN$.

Кроме того, $PM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично отрезок $PN$ — средняя линия $\triangle ACD$, и поэтому $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.

Так как $AB = CD$, то $PM = PN$, т. е. треугольник $PMN$ — равнобедренный. Следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$, а это означает, что угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $CD$ и $MN$, что и требовалось доказать.

В данном доказательстве необходимо заполнить пропуски, используя свойства средней линии треугольника и определение угла между скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $BC$, а $P$ — середина $AC$, то $MP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $MP \parallel AB$ и $MP = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина $AD$, а $P$ — середина $AC$, то $PN$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, $PN \parallel CD$ и $PN = \frac{1}{2}CD$.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

• Угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $MP$ и прямой $MN$, то есть $\angle PMN$.
• Угол между прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между параллельной ей прямой $PN$ и прямой $MN$, то есть $\angle PNM$.

По условию задачи $AB = CD$. Так как $MP = \frac{1}{2}AB$ и $PN = \frac{1}{2}CD$, то из равенства $AB = CD$ следует, что $MP = PN$.

Треугольник $PMN$, в котором две стороны равны ($MP = PN$), является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle PMN = \angle PNM$.

Так как $\angle PMN$ равен углу между $AB$ и $MN$, а $\angle PNM$ равен углу между $CD$ и $MN$, то из равенства этих углов следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$.

Заполним пропуски в тексте доказательства:

Так как отрезок MP — средняя линия треугольника ABC, то $MP \parallel$ AB, и поэтому угол между прямыми AB и MN равен углу PMN. Кроме того, $PM = \frac{1}{2}$ AB. Аналогично отрезок PN — средняя линия треугольника ADC, и поэтому $PN \parallel$ CD и $PN = \frac{1}{2}CD$, а угол между прямыми CD и MN равен углу PNM.

Так как $AB = CD$, то $PM = $ PN, т. е. треугольник PMN — равнобедренный. Следовательно, $\angle$PMN = $\angle$PNM, а это означает, что угол между прямыми AB и MN равен углу между прямыми CD и MN, что и требовалось доказать.

Ответ: Пропуски в доказательстве заполнены выше. Доказательство основано на свойствах средней линии треугольника, из которых следует, что построенный треугольник PMN является равнобедренным ($PM=PN$), а углы $\angle PMN$ и $\angle PNM$ равны искомым углам между прямыми AB и MN и прямыми CD и MN соответственно.