Страница 4 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку M проходит плоскость, и притом единственная.

Дано: прямая $a$, $M \notin a$.

Доказать:

а) через прямую $a$ и точку $M$ проходит плоскость;

б) такая плоскость единственная.

Доказательство.

а) Пусть $P \in a$, $Q \in a$. Точки $P, Q, M$ не лежат на одной прямой, поэтому через эти точки по аксиоме проходит некоторая плоскость $\alpha$. Так как $P \in \alpha$ и $Q \in \alpha$, то прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и прямую $a$.

б) Допустим, что через прямую $a$ и точку $M$ проходит еще одна плоскость $\beta$. Тогда точки $P, Q, M$ будут лежать и в плоскости $\alpha$ и в плоскости $\beta$. Следовательно, по аксиоме плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Таким образом, через точку $M$ и прямую $a$ проходит единственная плоскость. Теорема доказана.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Ниже представлено доказательство этой теоремы с заполненными пропусками.

Пусть $P \in a$, $Q \in a$. Точки P, Q, M не лежат на одной прямой, поэтому через эти точки по аксиоме проходит некоторая плоскость $\alpha$. Так как $P \in \alpha$ и $Q \in \alpha$, то прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Итак, плоскость $\alpha$ проходит через точку M и прямую a.

Ответ: P, Q, M; аксиоме; M; прямую a.

Допустим, что через прямую $a$ и точку $M$ проходит еще одна плоскость $\beta$. Тогда точки P, Q, M будут лежать и в плоскости $\beta$. Следовательно, по аксиоме плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Таким образом, через точку M и прямую a проходит только одна плоскость. Теорема доказана.

Ответ: P, Q, M; в плоскости $\beta$; аксиоме; совпадают; точку M; прямую a; только одна.

Теорема 2. Через две ______ прямые проходит плоскость, и притом ______

Дано: прямые $a$ и $b$, $M \in a$, $M \in b$.

Доказать:

a) через прямые $a$ и $b$ проходит плоскость;

б) такая плоскость единственная.

Доказательство.

a) Пусть $N \in b$, причем $N$ и $M$ ______ точки, тогда по ______ через прямую $a$ и точку $N$ проходит плоскость $\alpha$. Так как две точки ______ и ______ прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то по ______ прямая $b$ проходит ______.

Итак, через прямые $a$ и $b$ проходит ______.

б) Допустим, что через прямые $a$ и $b$ проходит еще одна плоскость $\beta$. Тогда точка ______ и ______ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно ______, плоскости $\alpha$ и $\beta$ ______.

Таким образом, через пересекающиеся прямые ______ и ______ проходит ______ плоскость. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

а) Пусть $N \in b$, причем $N$ и $M$ — различные точки, тогда по теореме 1 (о плоскости, проходящей через прямую и точку) через прямую $a$ и точку $N$ проходит плоскость $\alpha$. Так как две точки M и N прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме 2 прямая $b$ также лежит в этой плоскости. Итак, через прямые $a$ и $b$ проходит плоскость.

Ответ: через прямые $a$ и $b$ проходит плоскость.

б) Допустим, что через прямые $a$ и $b$ проходит еще одна плоскость $\beta$. Тогда точка N и прямая $a$ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно теореме 1, плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Таким образом, через пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость. Теорема доказана.

Ответ: такая плоскость единственная.