Номер 28, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

28 Точки $A$ и $B$ расположены на гранях $SMN$ и $SNP$ тетраэдра $SMNP$. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$.

Решение.

Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ _______ и пересекает _______.

. Аналогично прямая $NB$ _______.

Итак, точки _______ лежат в плоскости _______

$ANB$, а потому и _______ лежит в _______ этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и _______ $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую _______ в некоторой точке _______ , и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка _______ , а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость _______ в точке _______.

Решение.

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую $AB$ и еще одну точку, не лежащую на этой прямой. Удобно выбрать точку $N$, так как она лежит в одной грани с точкой $A$ и в другой — с точкой $B$. Таким образом, мы будем работать со вспомогательной плоскостью $ANB$.

Алгоритм построения искомой точки:

1. Строим вспомогательную плоскость, проходящую через точки $A, B$ и $N$. Обозначим её $(ANB)$.
2. Находим линию пересечения вспомогательной плоскости $(ANB)$ с заданной плоскостью $(SMP)$. Для этого нужно найти две общие точки этих плоскостей.
   • Точка $A$ лежит в грани $SMN$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Следовательно, прямая $NA$ лежит в плоскости $(SMN)$. Продлим прямую $NA$ до пересечения с ребром $SM$ тетраэдра. Обозначим точку пересечения $F = NA \cap SM$. Так как точка $F$ лежит на прямой $SM$, она принадлежит плоскости $(SMP)$. Так как $F$ лежит на прямой $NA$, она принадлежит вспомогательной плоскости $(ANB)$. Значит, $F$ — первая общая точка.
   • Аналогично, точка $B$ лежит в грани $SNP$, точка $N$ также принадлежит этой грани. Прямая $NB$ лежит в плоскости $(SNP)$. Продлим прямую $NB$ до пересечения с ребром $SP$. Обозначим точку пересечения $K = NB \cap SP$. Точка $K$ лежит на прямой $SP$, значит, принадлежит плоскости $(SMP)$. Точка $K$ лежит на прямой $NB$, значит, принадлежит плоскости $(ANB)$. Следовательно, $K$ — вторая общая точка.
3. Прямая $FK$ является линией пересечения плоскостей $(ANB)$ и $(SMP)$.
4. Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(SMP)$ — это точка пересечения прямой $AB$ с линией пересечения плоскостей $FK$. Это следует из того, что обе прямые ($AB$ и $FK$) лежат во вспомогательной плоскости $(ANB)$. Обозначим эту точку $X = AB \cap FK$.

Заполним пропуски в тексте решения, представленном в задаче, в соответствии с описанным алгоритмом. В качестве имени для новой точки пересечения будем использовать букву $X$.

Поскольку точки $N$ и $A$ лежат в плоскости $SMN$, то прямая $NA$ пересекает прямую $SM$ в точке $F$. Аналогично прямая $NB$ пересекает прямую $SP$ в точке $K$.

Итак, точки $F$ и $K$ лежат в плоскости $ANB$, а потому и прямая $FK$ лежит в этой плоскости. На рисунке прямые $AB$ и $FK$ не параллельны, следовательно, прямая $AB$ пересекает прямую $FK$ в некоторой точке $X$, и так как прямая $FK$ лежит в плоскости $SMP$, то и точка $X$ лежит в этой плоскости, а значит, прямая $AB$ пересекает плоскость $SMP$ в точке $X$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $SMP$ — это точка $X$, полученная в результате пересечения прямых $AB$ и $FK$, где $F$ — точка пересечения прямой $NA$ с прямой $SM$, а $K$ — точка пересечения прямой $NB$ с прямой $SP$.