Номер 35, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

35 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $F$, $P$ и $E$ лежат на ребрах $AD$, $CC_1$ и $DD_1$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $FPE$.

Решение.

Грани $ADD_1A_1$ и $CDD_1C_1$ пересекаются с плоскостью $FPE$ по отрезкам ______ и ______. Плоскость $FPE$ пересекает грань $CC_1B_1B$ по отрезку $PK$ прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой ______ грани $AA_1D_1D$, так как грани ______ параллельны.

На рисунке прямая $PK$ пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке ______. Аналогично плоскость $FPE$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по отрезку прямой, проходящей через точку ______ и параллельной прямой ______ грани ______, а ребро $AB$ в некоторой ______.

Итак, пятиугольник $FEP$ ______ — искомое сечение.

Для решения задачи и заполнения пропусков в тексте необходимо последовательно построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью FPE. Построение основано на свойстве пересечения плоскостью параллельных граней многогранника.

1. Определение первых отрезков сечения
Точки F и E лежат на ребрах AD и DD₁ соответственно. Эти ребра образуют заднюю грань $ADD_1A_1$. Поскольку точки F и E принадлежат одновременно и секущей плоскости, и плоскости грани $ADD_1A_1$, то отрезок, их соединяющий, является линией пересечения этих плоскостей. Таким образом, первый отрезок сечения — это FE.
Аналогично, точки P и E лежат на ребрах CC₁ и DD₁, которые образуют боковую грань $CDD_1C_1$. Следовательно, отрезок PE является вторым отрезком сечения.
Это позволяет заполнить первые два пропуска в решении: FE и PE.

2. Использование параллельности граней для построения следующих отрезков
Грань $BB_1C_1C$ параллельна грани $ADD_1A_1$. По свойству, секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ — это прямая FE. Значит, линия пересечения с гранью $BB_1C_1C$ будет ей параллельна и пройдет через точку P (так как P принадлежит и секущей плоскости, и грани $BB_1C_1C$). Проведем через точку P прямую, параллельную FE, до пересечения с ребром $BB_1$. Точку пересечения, согласно тексту, назовем K. Таким образом, получаем третий отрезок сечения PK.
Это заполняет следующие пропуски: прямая параллельна FE, а параллельные грани — $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$. Точка пересечения называется K.

3. Построение четвертого отрезка сечения
Аналогично, передняя грань $AA_1B_1B$ параллельна боковой грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения с гранью $CDD_1C_1$ — это прямая PE. Следовательно, линия пересечения с гранью $AA_1B_1B$ будет параллельна PE. Эта линия должна пройти через точку сечения, которая уже найдена и лежит в грани $AA_1B_1B$. Такой точкой является точка K на ребре $BB_1$. Проводим через точку K прямую, параллельную PE. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в новой точке, которую мы назовем M. Получаем четвертый отрезок сечения KM.
Это заполняет пропуски: прямая проходит через точку K, параллельна прямой PE из грани $CDD_1C_1$, и пересекает ребро AB в точке M.

4. Завершение построения
Точки M и F обе лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединив их, получим последний, пятый отрезок сечения MF. В результате построено сечение, которое является пятиугольником с вершинами F, E, P, K, M. Это позволяет заполнить последний пропуск в названии фигуры: FEPKM.

Ответ:

Грани $ADD_1A_1$ и $CDD_1C_1$ пересекаются с плоскостью $FPE$ по отрезкам FE и PE. Плоскость $FPE$ пересекает грань $CC_1B_1B$ по отрезку $PK$ прямой, проходящей через точку P и параллельной прямой FE грани $AA_1D_1D$, так как грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. На рисунке прямая $PK$ пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке K. Аналогично плоскость $FPE$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по отрезку прямой, проходящей через точку K и параллельной прямой PE грани $CDD_1C_1$, а ребро $AB$ в некоторой точке M. Итак, пятиугольник FEPKM - искомое сечение.