Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

34 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ лежит на ребре $AD$, $T$ — внутренняя точка грани $CC_1D_1D$.

а) Через точку $T$ проведите плоскость $\alpha$, параллельную плоскости $B_1BF$.

б) Постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1$.

Решение.

а) Проведем $PT \parallel$ __________ и $PN \parallel$ __________.

Прямые $PT$ и $PN$ задают __________.

б) Прямая $NP$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и __________, причем прямая $NP$ пересекает прямую $AD$ в некоторой точке $Q$, и так как прямая $AD$ лежит в плоскости $AA_1D_1$, то точка $Q$ является общей точкой двух плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой $QQ_1$, проходящей через точку $Q$ и параллельной прямой __________.

Итак, $QQ_1$ — линия пересечения плоскостей __________ и __________.

а) Для того чтобы через точку T провести плоскость $\alpha$, параллельную плоскости $B_1BF$, необходимо построить две пересекающиеся прямые, образующие плоскость $\alpha$, которые будут соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в плоскости $B_1BF$. В качестве таких прямых в исходной плоскости удобно выбрать $B_1B$ и $BF$.

1. Построение первой прямой. Через точку T, которая принадлежит грани $CC_1D_1D$, проведем прямую, параллельную ребру $B_1B$. Так как в параллелепипеде боковые ребра параллельны ($B_1B \parallel C_1C$), эта прямая будет лежать в плоскости грани $CC_1D_1D$. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром $DC$ как P. Прямая, содержащая отрезок PT, параллельна $B_1B$.

2. Построение второй прямой. Через точку P, лежащую в плоскости основания $ABCD$, проведем прямую PN, параллельную прямой $BF$ (где N, как показано на рисунке, лежит на $BC$).

Две полученные пересекающиеся прямые (одна содержит PT, другая — PN) задают плоскость $\alpha$. По признаку параллельности двух плоскостей, так как $PT \parallel B_1B$ и $PN \parallel BF$, то плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $B_1BF$.

Таким образом, заполняем пропуски в предложенном решении:

Проведем PT $ \parallel $ $B_1B$ и PN $ \parallel $ $BF$.

Прямые PT и PN задают плоскость $\alpha$.

Ответ: В пункте а) в первое и второе пропуски следует вписать $B_1B$ и $BF$ соответственно. В третий пропуск следует вписать плоскость $\alpha$.

б) Для построения линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $AA_1D_1$ найдем одну их общую точку и определим направление линии пересечения.

1. Нахождение общей точки. Прямая NP по построению является частью плоскости $\alpha$. Точки N и P лежат на ребрах $BC$ и $DC$ соответственно, то есть в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, вся прямая NP лежит в плоскости $ABCD$. Таким образом, NP — это линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости основания. Первый пропуск в тексте — это (ABCD).

Прямая AD также лежит в плоскости основания. Прямые NP и AD, лежащие в одной плоскости, пересекутся в некоторой точке Q (если они не параллельны). Точка Q принадлежит прямой NP, а значит, принадлежит плоскости $\alpha$. Точка Q принадлежит прямой AD, а значит, принадлежит плоскости $AA_1D_1$. Следовательно, Q — это общая точка плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$.

2. Определение направления. Известно, что если плоскость (в нашем случае $AA_1D_1$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $B_1BF$), то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения плоскостей $B_1BF$ и $AA_1D_1$ — это прямая, проходящая через их общую точку F и параллельная прямой $B_1B$ (так как $B_1B \parallel A_1A$, а прямая $A_1A$ лежит в плоскости $AA_1D_1$). Следовательно, искомая линия пересечения $QQ_1$ плоскостей $\alpha$ и $AA_1D_1$ также должна быть параллельна $B_1B$. По построению в пункте а) мы провели прямую $PP_1$ параллельно $B_1B$. Таким образом, $QQ_1 \parallel PP_1$. Второй пропуск — это $PP_1$.

Итоговая строка констатирует, что $QQ_1$ является линией пересечения указанных плоскостей. Последние два пропуска — это $\alpha$ и $AA_1D_1$.

Ответ: В пункте б) в пропуски следует последовательно вписать (ABCD), $PP_1$, $\alpha$ и $AA_1D_1$.

35 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $F$, $P$ и $E$ лежат на ребрах $AD$, $CC_1$ и $DD_1$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $FPE$.

Решение.

Грани $ADD_1A_1$ и $CDD_1C_1$ пересекаются с плоскостью $FPE$ по отрезкам ______ и ______. Плоскость $FPE$ пересекает грань $CC_1B_1B$ по отрезку $PK$ прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой ______ грани $AA_1D_1D$, так как грани ______ параллельны.

На рисунке прямая $PK$ пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке ______. Аналогично плоскость $FPE$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по отрезку прямой, проходящей через точку ______ и параллельной прямой ______ грани ______, а ребро $AB$ в некоторой ______.

Итак, пятиугольник $FEP$ ______ — искомое сечение.

Для решения задачи и заполнения пропусков в тексте необходимо последовательно построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью FPE. Построение основано на свойстве пересечения плоскостью параллельных граней многогранника.

1. Определение первых отрезков сечения
Точки F и E лежат на ребрах AD и DD₁ соответственно. Эти ребра образуют заднюю грань $ADD_1A_1$. Поскольку точки F и E принадлежат одновременно и секущей плоскости, и плоскости грани $ADD_1A_1$, то отрезок, их соединяющий, является линией пересечения этих плоскостей. Таким образом, первый отрезок сечения — это FE.
Аналогично, точки P и E лежат на ребрах CC₁ и DD₁, которые образуют боковую грань $CDD_1C_1$. Следовательно, отрезок PE является вторым отрезком сечения.
Это позволяет заполнить первые два пропуска в решении: FE и PE.

2. Использование параллельности граней для построения следующих отрезков
Грань $BB_1C_1C$ параллельна грани $ADD_1A_1$. По свойству, секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ — это прямая FE. Значит, линия пересечения с гранью $BB_1C_1C$ будет ей параллельна и пройдет через точку P (так как P принадлежит и секущей плоскости, и грани $BB_1C_1C$). Проведем через точку P прямую, параллельную FE, до пересечения с ребром $BB_1$. Точку пересечения, согласно тексту, назовем K. Таким образом, получаем третий отрезок сечения PK.
Это заполняет следующие пропуски: прямая параллельна FE, а параллельные грани — $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$. Точка пересечения называется K.

3. Построение четвертого отрезка сечения
Аналогично, передняя грань $AA_1B_1B$ параллельна боковой грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения с гранью $CDD_1C_1$ — это прямая PE. Следовательно, линия пересечения с гранью $AA_1B_1B$ будет параллельна PE. Эта линия должна пройти через точку сечения, которая уже найдена и лежит в грани $AA_1B_1B$. Такой точкой является точка K на ребре $BB_1$. Проводим через точку K прямую, параллельную PE. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в новой точке, которую мы назовем M. Получаем четвертый отрезок сечения KM.
Это заполняет пропуски: прямая проходит через точку K, параллельна прямой PE из грани $CDD_1C_1$, и пересекает ребро AB в точке M.

4. Завершение построения
Точки M и F обе лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединив их, получим последний, пятый отрезок сечения MF. В результате построено сечение, которое является пятиугольником с вершинами F, E, P, K, M. Это позволяет заполнить последний пропуск в названии фигуры: FEPKM.

Ответ:

Грани $ADD_1A_1$ и $CDD_1C_1$ пересекаются с плоскостью $FPE$ по отрезкам FE и PE. Плоскость $FPE$ пересекает грань $CC_1B_1B$ по отрезку $PK$ прямой, проходящей через точку P и параллельной прямой FE грани $AA_1D_1D$, так как грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$ параллельны. На рисунке прямая $PK$ пересекает ребро $BB_1$ в некоторой точке K. Аналогично плоскость $FPE$ пересекает грань $AA_1B_1B$ по отрезку прямой, проходящей через точку K и параллельной прямой PE грани $CDD_1C_1$, а ребро $AB$ в некоторой точке M. Итак, пятиугольник FEPKM - искомое сечение.