Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

36 В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребрах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $D_1MN$.

б) Постройте линию пересечения секущей плоскости и плоскости $BD_1B_1$.

Решение.

а) Пусть прямая $MN$ пересекает продолжения ребер $AD$ и $DC$ в точках $P$ и $Q$.

Тогда прямые $PD_1$ и $QD_1$ пересекают ребра __________ в некоторых точках __________

Итак, искомое сечение __________

б) Плоскости $D_1MN$ и $BDD_1$ имеют общую точку ______, а потому по аксиоме ______ пересекаются.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью D₁MN.

Для построения сечения воспользуемся методом следов. След секущей плоскости $D_1MN$ на плоскости нижнего основания (ABC) — это прямая MN, так как точки M и N лежат и в секущей плоскости, и в плоскости основания.

1. В плоскости основания (ABC) проведем прямую MN. Продлим ее до пересечения с продолжениями ребер AD и DC. Обозначим точки пересечения P и Q соответственно: $P = MN \cap AD$ и $Q = MN \cap DC$. Точки P и Q принадлежат секущей плоскости, так как лежат на прямой MN.

2. Теперь найдем точки пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$.

• Точка P лежит на прямой AD, следовательно, она принадлежит плоскости грани $ADD_1A_1$. Точка $D_1$ также принадлежит этой плоскости. Значит, прямая $PD_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $ADD_1A_1$. Эта прямая пересекает ребро $AA_1$ в некоторой точке K.
• Аналогично, точка Q лежит на прямой DC, следовательно, она принадлежит плоскости грани $DCC_1D_1$. Точка $D_1$ также принадлежит этой плоскости. Значит, прямая $QD_1$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $DCC_1D_1$. Эта прямая пересекает ребро $CC_1$ в некоторой точке L.

3. Мы нашли все точки пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда: M на AB, N на BC, L на $CC_1$, $D_1$ (вершина) и K на $AA_1$. Последовательно соединив эти точки, получаем искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $KMNLD_1$.

б) Постройте линию пересечения секущей плоскости и плоскости BD₁B₁.

Для построения линии пересечения двух плоскостей, $D_1MN$ и $BDD_1B_1$, необходимо найти две их общие точки.

1. Плоскости $D_1MN$ и $BDD_1B_1$ имеют общую точку $D_1$. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

2. Чтобы построить эту прямую, найдем вторую общую точку. Для этого рассмотрим пересечение прямых, лежащих в этих плоскостях. Прямая MN лежит в секущей плоскости $D_1MN$ и одновременно в плоскости основания (ABC). Диагональная плоскость $BDD_1B_1$ пересекает плоскость основания (ABC) по прямой BD.

3. Найдем точку пересечения прямых MN и BD, которые обе лежат в плоскости (ABC). Обозначим эту точку O.

• Поскольку точка O лежит на прямой MN, она принадлежит секущей плоскости $D_1MN$.
• Поскольку точка O лежит на прямой BD, она принадлежит диагональной плоскости $BDD_1B_1$.

Следовательно, точка O является второй общей точкой для плоскостей $D_1MN$ и $BDD_1B_1$.

4. Линия пересечения двух плоскостей проходит через их две общие точки. В нашем случае это точки $D_1$ и O.

Ответ: Линия пересечения плоскости $D_1MN$ и плоскости $BDD_1B_1$ — это прямая $D_1O$, где O — точка пересечения прямых MN и BD.

37 а) Постройте сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $AEF$, где точка $E$ принадлежит ребру $BC$, а $F$ — внутренняя точка грани $DCC_1D_1$.

б) Укажите точку пересечения диагонали $DB_1$ параллелепипеда с секущей плоскостью.

Решение.

а) Пусть прямая $AE$ пересекает продолжение ребра __________ в некоторой точке __________, тогда прямая __________ лежит в плоскости __________ и пересекает ребра __________ в некоторых точках __________.

Итак, искомое сечение __________.

б) Пусть прямые $BD$ и $AE$ пересекаются в некоторой точке $P$. Тогда прямые __________ и __________ лежат в плоскости $DBB_1$ и __________ .

Построение сечения проведем в несколько этапов, используя метод следов.

1. Точки $A$ и $E$ лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCD$. Соединим их отрезком. Отрезок $AE$ является следом секущей плоскости на грани $ABCD$.

2. В плоскости основания $ABCD$ продлим прямую $AE$ до пересечения с прямой, содержащей ребро $DC$. Обозначим точку их пересечения буквой $K$. Так как прямая $AE$ целиком лежит в секущей плоскости, то и точка $K$ принадлежит секущей плоскости.

3. Теперь в плоскости задней грани $DCC_1D_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $F$ (по условию) и точка $K$ (по построению). Проведем через них прямую $KF$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости $DCC_1D_1$. Прямая $KF$ пересечет ребра $CC_1$ и $DD_1$ в точках $H$ и $G$ соответственно. Отрезок $GH$ — это след секущей плоскости на грани $DCC_1D_1$.

4. Мы получили четыре точки, принадлежащие секущей плоскости и лежащие на ребрах параллелепипеда: $A$, $E$, $H$ и $G$. Последовательно соединим их. Отрезок $EH$ лежит в грани $BCC_1B_1$, а отрезок $AG$ — в грани $ADD_1A_1$.

В результате получаем искомое сечение — четырехугольник $AEHG$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEHG$.

Чтобы найти точку пересечения прямой (диагонали $DB_1$) и плоскости (сечения $AEHG$), воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

1. Выберем вспомогательную плоскость, которая проходит через диагональ $DB_1$. Наиболее удобной является диагональная плоскость $DBB_1D_1$.

2. Найдем прямую пересечения секущей плоскости $AEHG$ и вспомогательной плоскости $DBB_1D_1$. Для этого необходимо найти две общие точки этих плоскостей.

3. Первой общей точкой является точка $G$. По построению, точка $G$ принадлежит ребру $DD_1$, а значит, и плоскости $DBB_1D_1$. Также точка $G$ является точкой сечения, то есть $G \in AEHG$.

4. Вторую общую точку найдем в плоскости основания $ABCD$. В этой плоскости лежат прямая $AE$ (которая принадлежит секущей плоскости) и диагональ основания $BD$ (которая принадлежит вспомогательной плоскости). Точка их пересечения, назовем ее $P$, принадлежит обеим плоскостям: $P \in AEHG$ и $P \in DBB_1D_1$.

5. Таким образом, прямая $GP$ является линией пересечения секущей плоскости $AEHG$ и вспомогательной плоскости $DBB_1D_1$.

6. Искомая точка пересечения диагонали $DB_1$ с плоскостью $AEHG$ должна лежать одновременно на диагонали $DB_1$ и в плоскости $AEHG$. Поскольку $DB_1 \subset DBB_1D_1$, то искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $AEHG$ и $DBB_1D_1$, то есть на прямой $GP$.

7. Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямых $DB_1$ и $GP$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $DBB_1D_1$ и, в общем случае, пересекаются.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $DB_1$ с прямой $GP$, где $G$ — точка пересечения секущей плоскости с ребром $DD_1$, а $P$ — точка пересечения прямых $AE$ и $BD$.