Страница 23 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

31 На рисунке изображен тетраэдр $KLMN$.

a) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро $KL$ и середину $A$ ребра $MN$.

б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины $E$, $O$ и $F$ отрезков $LM$, $MA$ и $MK$, параллельна плоскости $LKA$. Найдите площадь треугольника $EOF$, если площадь треугольника $LKA$ равна $24$ см$^\text{2}$ (задача 75 учебника).

Решение.

a) Так как точки $L$ и $A$ принадлежат секущей плоскости и грани _______ тетраэдра, то секущая плоскость пересекается с этой гранью по _______ . Аналогично секущая плоскость пересекается с гранью $KMN$ по _______ . Следовательно, _______ искомое сечение.

б) Рассмотрим плоскости $EFO$ и $LKA$. $EF \parallel LK$ и $EO \parallel LA$, так как _______ .

Итак, две пересекающиеся прямые плоскости $EFO$ соответственно параллельны двум прямым плоскости _______ , поэтому, согласно _______ .

Треугольники $EOF$ и $LAK$ подобны, так как _______ , причем коэффициент подобия равен _______ , так как _______ . По теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем:

$S_{EOF} : S_{LAK} = _______$, откуда $S_{EOF} = _______ = _______$ см$^\text{2}$.

Ответ. б) _______ см$^\text{2}$.

а) Секущая плоскость проходит через ребро KL и точку A, которая является серединой ребра MN. Таким образом, плоскость сечения полностью определяется тремя точками: K, L и A.
Соединим эти точки отрезками, чтобы построить сечение:
1. Отрезок KL уже является ребром тетраэдра и принадлежит секущей плоскости.
2. Точки L и A обе лежат в плоскости грани LMN. Следовательно, отрезок LA — это линия пересечения секущей плоскости с гранью LMN.
3. Точки K и A обе лежат в плоскости грани KMN. Следовательно, отрезок KA — это линия пересечения секущей плоскости с гранью KMN.
В результате мы получаем треугольник KLA, который и является искомым сечением тетраэдра.
Ответ: Сечением является треугольник KLA.

б) Сначала докажем, что плоскость (EFO) параллельна плоскости (LKA).
По условию, точки E, O и F являются серединами отрезков LM, MA и MK соответственно.
1. Рассмотрим треугольник LMK. Отрезок EF соединяет середины сторон LM и MK. Следовательно, EF — средняя линия треугольника LMK. По свойству средней линии, отрезок EF параллелен стороне LK, то есть $EF \parallel LK$.
2. Рассмотрим треугольник LMA. Отрезок EO соединяет середины сторон LM и MA. Следовательно, EO — средняя линия треугольника LMA. По свойству средней линии, $EO \parallel LA$.
Прямые EF и EO пересекаются в точке E и лежат в плоскости (EFO). Прямые LK и LA пересекаются в точке L и лежат в плоскости (LKA). Так как две пересекающиеся прямые одной плоскости ($EF$ и $EO$) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости ($LK$ и $LA$), то по признаку параллельности плоскостей, плоскость (EFO) параллельна плоскости (LKA).

Теперь найдем площадь треугольника EOF.
Так как стороны треугольника EOF соответственно параллельны сторонам треугольника LKA ($EF \parallel LK$, $EO \parallel LA$ и, аналогично, $FO \parallel KA$ как средняя линия $\triangle MKA$), то эти треугольники подобны: $\triangle EOF \sim \triangle LKA$.
Найдем коэффициент подобия $k$. Он равен отношению длин соответственных сторон. Из свойства средней линии известно, что ее длина равна половине длины параллельной ей стороны:
$k = \frac{EF}{LK} = \frac{EO}{LA} = \frac{FO}{KA} = \frac{1}{2}$.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{EOF}}{S_{LKA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Нам дана площадь треугольника LKA: $S_{LKA} = 24$ см². Выразим из пропорции площадь треугольника EOF:
$S_{EOF} = \frac{1}{4} \cdot S_{LKA} = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см².
Ответ: 6 см².