Номер 42, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

42 В тетраэдре $MABC$ ребра $MA$ и $BC$ перпендикулярны, $P$ — точка ребра $AB$, причем $AP : AB = 2 : 3$, $Q$ — точка ребра $AC$ и $AQ : QC = 2 : 1$. Докажите, что $MA \perp PQ$.

$\Delta APQ \sim \Delta ABC$, так как _________.

. Поэтому $PQ \parallel$ _________, и угол между прямыми $MA$ и $PQ$ _________, т. е. $MA \perp$ _________.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $△APQ$ и $△ABC$, которые лежат в одной плоскости. По условию задачи даны следующие соотношения:

• Точка $P$ лежит на ребре $AB$ так, что $AP : AB = 2 : 3$. Это означает, что $\frac{AP}{AB} = \frac{2}{3}$.
• Точка $Q$ лежит на ребре $AC$ так, что $AQ : QC = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $AC$ состоит из $2+1=3$ частей, и на отрезок $AQ$ приходится 2 части. Следовательно, $\frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3}$.

2. Сравним треугольники $△APQ$ и $△ABC$. Угол $A$ у них является общим. Отношения сторон, прилежащих к этому углу, равны: $$ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3} $$ По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $△APQ \sim △ABC$.

3. Из подобия треугольников $△APQ \sim △ABC$ следует, что их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны. В частности, $∠APQ = ∠ABC$. Так как эти углы являются соответственными при прямых $PQ$ и $BC$ и секущей $AB$, то прямые $PQ$ и $BC$ параллельны: $PQ \parallel BC$.

4. По условию задачи, ребра $MA$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $MA \perp BC$. Это означает, что угол между скрещивающимися прямыми $MA$ и $BC$ равен $90^\circ$.

5. Поскольку $PQ \parallel BC$, угол между скрещивающимися прямыми $MA$ и $PQ$ равен углу между прямыми $MA$ и $BC$. Следовательно, угол между $MA$ и $PQ$ также равен $90^\circ$, что означает, что $MA \perp PQ$.

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Заполняя пропуски в предложенном в задаче доказательстве, получаем:

$△APQ \sim △ABC$, так как угол $A$ у них общий и $\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{2}{3}$. Поэтому $PQ \parallel$ $BC$, и угол между прямыми $MA$ и $PQ$ равен углу между прямыми $MA$ и $BC$, т. е. $MA \perp$ $PQ$.

Ответ: Утверждение $MA \perp PQ$ доказано.