Номер 45, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

45 Четырехугольник $ABCD$ — квадрат,

$O$ — точка пересечения его диагоналей,

$OM \perp ABC$. Докажите, что:

а) $BD \perp MA$ и $BD \perp MC$;

б) $AC \perp MB$ и $AC \perp MD$.

Доказательство. Четырехугольник $ABCD$ — квадрат, поэтому

$AC \perp \text{_______}$. По условию $MO \perp ABC$, следовательно, $MO \perp \text{_______}$ и $MO \perp \text{_______}$.

а) Рассмотрим плоскость $AMC$. Прямая $BD$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым _______ этой плоскости, следовательно, по

_______ $BD \perp \text{_______}$, а потому прямая $BD$ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности $BD \perp \text{_______}$ и $BD \perp \text{_______}$.

б) Рассмотрим плоскость $BMD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является квадратом, его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам.

По условию задачи, прямая $OM$ перпендикулярна плоскости $ABC$, что записывается как $OM \perp (ABC)$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $OM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как диагонали $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $ABC$, то $OM \perp AC$ и $OM \perp BD$.

а) BD ⊥ MA и BD ⊥ MC

Рассмотрим плоскость $AMC$. Прямые $AC$ и $OM$ лежат в этой плоскости и пересекаются в точке $O$.

Известно, что:
1. $BD \perp AC$ (свойство диагоналей квадрата).
2. $BD \perp OM$ (так как $OM \perp (ABC)$ и прямая $BD$ лежит в плоскости $ABC$).

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $OM$), лежащим в плоскости $AMC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $AMC$, то есть $BD \perp (AMC)$.

Так как прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AMC$, она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Прямые $MA$ и $MC$ лежат в плоскости $AMC$. Следовательно, $BD \perp MA$ и $BD \perp MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $BD \perp MA$ и $BD \perp MC$.

б) AC ⊥ MB и AC ⊥ MD

Рассмотрим плоскость $BMD$. Прямые $BD$ и $OM$ лежат в этой плоскости и пересекаются в точке $O$.

Известно, что:
1. $AC \perp BD$ (свойство диагоналей квадрата).
2. $AC \perp OM$ (так как $OM \perp (ABC)$ и прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$).

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $OM$), лежащим в плоскости $BMD$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BMD$, то есть $AC \perp (BMD)$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$, она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Прямые $MB$ и $MD$ лежат в плоскости $BMD$. Следовательно, $AC \perp MB$ и $AC \perp MD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AC \perp MB$ и $AC \perp MD$.