Номер 49, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

49 Из точки M к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB, которые образуют со своими проекциями на эту плоскость $\angle MAO = 45^\circ$, $\angle MBO = 30^\circ$, угол между наклонными равен $90^\circ$.

Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна $\sqrt{3}$ см.

Решение.

$MO \perp \alpha$, поэтому

$MO \perp$ _______ и $MO \perp$ _______. $\triangle AMO$ прямоугольный и равнобедренный:

$\angle O =$ _______, $\angle A = \angle$ _______ = _______, $AO$ = _______, следовательно,

$MO$ = _______, $AM$ = _______. $\triangle BMO$ прямоугольный: $\angle O =$ _______,

$\angle B$ = _______, $MO$ = _______, поэтому $MB = 2$ _______ = _______ см.

$\triangle AMB$ прямоугольный: $\angle M$ = _______, $AM$ = _______, $BM$ = _______

= _______, поэтому $AB$ = _______ = _______ = _______ см.

Ответ.

_______ см.

Решение.

По условию, $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, значит, $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, $MO \perp OA$ и $MO \perp OB$. Это означает, что треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle AMO$. Угол между наклонной $MA$ и её проекцией $OA$ равен $\angle MAO = 45^\circ$. Так как $\triangle AMO$ прямоугольный, сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle AMO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AM$ равны ($\angle MAO = \angle AMO$), треугольник $\triangle AMO$ является равнобедренным, и его катеты равны: $MO = AO$. По условию, длина проекции $AO = \sqrt{3}$ см. Значит, $MO = \sqrt{3}$ см. Найдем длину наклонной $AM$ по теореме Пифагора: $AM^2 = MO^2 + AO^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$. $AM = \sqrt{6}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle BMO$. Угол между наклонной $MB$ и её проекцией $OB$ равен $\angle MBO = 30^\circ$. Мы уже нашли, что катет $MO = \sqrt{3}$ см. Найдем длину наклонной $MB$ (гипотенузы) через синус угла $\angle MBO$: $\sin(\angle MBO) = \frac{MO}{MB}$ $\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{MB}$ $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{MB}$ $MB = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Рассмотрим $\triangle AMB$. По условию, угол между наклонными $\angle AMB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle AMB$ — прямоугольный. Его катетами являются наклонные $AM$ и $MB$, а гипотенузой — отрезок $AB$, расстояние между основаниями наклонных. Применим теорему Пифагора для $\triangle AMB$: $AB^2 = AM^2 + MB^2 = (\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6 + (4 \cdot 3) = 6 + 12 = 18$. $AB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.