Номер 56, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

56 Через точку А, удаленную от плоскости $\alpha$ на расстояние $\sqrt{3}$ см, проведена прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке В. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если $AB = 2$ см.

Решение.

Пусть отрезок $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $AO = —$, прямая $OB$ — проекция прямой $AB$ на плоскость $\alpha$, и угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABO$. Из прямоугольного треугольника $AOB$ находим: $\sin \angle ABO = — = —$, следовательно, $\angle ABO = —$.

Ответ. —

По условию задачи, точка A удалена от плоскости $\alpha$ на расстояние $\sqrt{3}$ см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, длина отрезка $AO$ равна $\sqrt{3}$ см, и $AO \perp \alpha$.

Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является наклонной к плоскости $\alpha$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Следовательно, нам нужно найти величину угла $\angle ABO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OB$. Значит, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ нам известны:
- катет $AO = \sqrt{3}$ см (противолежащий углу $\angle ABO$);
- гипотенуза $AB = 2$ см.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle ABO$ имеем:
$\sin(\angle ABO) = \frac{AO}{AB}$

Подставим известные значения:
$\sin(\angle ABO) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого равенства находим величину угла $\angle ABO$:
$\angle ABO = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.