Номер 58, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

58 К плоскости равнобедренного прямо-угольного треугольника ABC с гипотену-зой $AB = 12\sqrt{3}$ см проведен перпендику-ляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB.

Решение.

Треугольники ABC и ADB равнобедренные: $\triangle ABC$ ___ , а в $\triangle ADB$ DA = ___ , так как эти стороны ___ .

___ . Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из вершин C и D к общему основанию ___ , явля-ются ___ , и, следовательно, $\angle DFC$ — линейный угол ___ , а значит, угол между плоско-стями DAB и CAB равен $\angle$ ___ . $\triangle DCF$ прямоугольный, DC = ___ , CF = $\frac{1}{2}$ ___ = ___ см и поэтому $tg \angle DFC = \frac{___}{___}$ = ___ = ___ , откуда $\angle DFC$ = ___ .

Ответ.

___

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с гипотенузой $AB$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$.

Проведем из вершины $C$ медиану $CF$ к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $CF$ перпендикулярна $AB$ ($CF \perp AB$) и ее длина равна:$CF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Поскольку $DC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Следовательно, треугольники $\Delta DCA$ и $\Delta DCB$ являются прямоугольными. Эти треугольники равны по двум катетам ($DC$ — общий катет, $AC = BC$ по условию). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $DA = DB$.

Это означает, что треугольник $ADB$ также является равнобедренным с основанием $AB$. Проведем в нем медиану $DF$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой, поэтому $DF \perp AB$.

Угол между двумя плоскостями $(DAB)$ и $(CAB)$ измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линия пересечения плоскостей — $AB$. Мы построили два перпендикуляра к этой линии в одной точке $F$: $CF$ в плоскости $(CAB)$ и $DF$ в плоскости $(DAB)$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу $\angle DFC$.

Рассмотрим треугольник $\Delta DCF$. Так как $DC \perp (ABC)$ и прямая $CF$ лежит в этой плоскости, то $DC \perp CF$. Значит, треугольник $\Delta DCF$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

Мы знаем длины катетов этого треугольника: $DC = 18$ см (по условию) и $CF = 6\sqrt{3}$ см (как мы нашли ранее). Найдем тангенс угла $\angle DFC$:$\text{tg}(\angle DFC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DC}{CF} = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $60^\circ$. Таким образом, $\angle DFC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.