Номер 59, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

59 Катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен 60°. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 5$ см, $AB = 13$ см (задача 172 учебника).

Решение.

Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Отрезок $BC$ — наклонная к ______, отрезок $OC$ — проекция наклонной ______ на _______, а прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна к наклонной $BC$. Следовательно, согласно ______

$AC \perp OC$. Таким образом, $\angle BCO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $ABC$, и, значит, $\angle BCO = $______

$\triangle ABC$ прямоугольный: $\angle C = $______, $AC = $______, $AB = $______, поэтому $BC = $______

$\triangle BCO$ прямоугольный: $\angle O = $______, $\angle BCO = $______, $BC = $______, следовательно, $BO = $______ см = ______ см.

Ответ. ______ см.

1. Определение искомого расстояния и линейного угла.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Таким образом, $BO$ — искомое расстояние.

Отрезок $BC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $OC$ — ее проекцией на эту плоскость. По условию задачи, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$), следовательно, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Так как прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна наклонной $BC$, то по теореме о трех перпендикулярах она будет перпендикулярна и проекции этой наклонной, то есть $AC \perp OC$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ является двугранным углом. Его величина измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей. Линией пересечения в данном случае является прямая $AC$. Поскольку $BC \perp AC$ и $OC \perp AC$, угол $\angle BCO$ является линейным углом двугранного угла. По условию, его величина составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle BCO = 60^\circ$.

2. Нахождение длины катета BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Из условия нам известны длины гипотенузы $AB = 13$ см и катета $AC = 5$ см. Выразим и найдем длину катета $BC$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Вычисление расстояния BO.

Рассмотрим треугольник $BCO$. Так как $BO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $O$. Следовательно, $BO \perp OC$, и треугольник $BCO$ — прямоугольный с прямым углом $O$.

В прямоугольном треугольнике $BCO$ нам известна гипотенуза $BC = 12$ см и острый угол $\angle BCO = 60^\circ$. Искомое расстояние $BO$ является катетом, противолежащим этому углу.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, получаем:

$\sin(\angle BCO) = \frac{BO}{BC}$

Отсюда находим $BO$:

$BO = BC \cdot \sin(\angle BCO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.