Номер 64, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

64 Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке многогранников?

а) Тетраэдр

б) Параллелепипед

в) Октаэдр

Решение.

а) Тетраэдр DABC составлен из ____ граней. Он имеет ____ ребер и ____ вершины. Диагональю многогранника называется ____ , соединяющий две ____ , не принадлежащие одной грани, следовательно, у него ____ диагоналей.

б) ____ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ составлен из ____ граней. Он имеет ____ ребер, ____ вершин и ____ диагонали ($AC_1$, ____).

в) ____ $NABCDS$ имеет ____ ____ и ____ диагонали ($AC$, ____).

а) Тетраэдр

Тетраэдр $DABC$ (треугольная пирамида) имеет следующие элементы:

• Грани: Это плоские многоугольники, которые образуют поверхность многогранника. У тетраэдра $4$ грани, каждая из которых является треугольником: основание $ABC$ и три боковые грани $DAB$, $DBC$, $DAC$.
• Ребра: Это отрезки, являющиеся сторонами граней. Ребра основания: $AB$, $BC$, $CA$. Боковые ребра: $DA$, $DB$, $DC$. Всего $3 + 3 = 6$ ребер.
• Вершины: Это точки, в которых сходятся ребра. Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Всего $4$ вершины.
• Диагонали: Это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной и той же грани. В тетраэдре любые две вершины принадлежат одной грани (и соединены ребром). Следовательно, у тетраэдра нет диагоналей.

Ответ: $4$ грани, $6$ ребер, $4$ вершины, $0$ диагоналей.

б) Параллелепипед

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет следующие элементы:

• Грани: У параллелепипеда $2$ основания ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) и $4$ боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DAA_1D_1$). Все грани являются параллелограммами. Всего $2 + 4 = 6$ граней.
• Ребра: $4$ ребра в нижнем основании, $4$ ребра в верхнем основании и $4$ боковых ребра, соединяющих основания. Всего $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
• Вершины: $4$ вершины в нижнем основании ($A$, $B$, $C$, $D$) и $4$ вершины в верхнем основании ($A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$). Всего $4 + 4 = 8$ вершин.
• Диагонали: Это отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани (пространственные диагонали). Такими диагоналями являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $A_1C$, $B_1D$. Всего $4$ диагонали.

Ответ: $6$ граней, $12$ ребер, $8$ вершин, $4$ диагонали.

в) Октаэдр

Октаэдр $NABCDS$ (две четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием $ABCD$) имеет следующие элементы:

• Грани: Октаэдр имеет $8$ граней, каждая из которых является треугольником. $4$ грани образуют верхнюю пирамиду ($NAB$, $NBC$, $NCD$, $NDA$) и $4$ грани образуют нижнюю пирамиду ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$). Всего $8$ граней.
• Ребра: $4$ ребра в общем "экваториальном" четырехугольнике ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$), $4$ ребра, идущих к "северному полюсу" $N$ ($NA$, $NB$, $NC$, $ND$), и $4$ ребра, идущих к "южному полюсу" $S$ ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$). Всего $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
• Вершины: $4$ вершины в "экваториальной" плоскости ($A$, $B$, $C$, $D$) и $2$ вершины-полюса ($N$ и $S$). Всего $4 + 2 = 6$ вершин.
• Диагонали: Это отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани. Такими являются отрезки, проходящие через центр многогранника: $NS$, $AC$ и $BD$. Всего $3$ диагонали.

Ответ: $8$ граней, $12$ ребер, $6$ вершин, $3$ диагонали.