Номер 57, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

57 В прямоугольном треугольнике ABC $ \angle C = 90^\circ, AB = 4\sqrt{3} $ см. Точка P не лежит в плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние $ 4\sqrt{3} $ см. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC.

Решение.

Пусть PO — перпендикуляр к плоскости ABC. Поскольку отрезки $ PA, PB $ и $ PC $ — равные наклонные, проведенные из _______ к _______, то их проекции тоже _______ , т. е. $ OA = $ _______ $ = $ _______ , а потому точка $ O $ — центр окружности, _______ .

Следовательно, точка $ O $ — середина _______ .

Так как $ AB = $ _______ , то $ CO = \frac{1}{2} $ _______ $ = $ _______ см.

Искомый угол $ \varphi $ между прямой _______ и плоскостью _______ есть угол между _______ , т. е. $ \varphi = \angle $ _______ . $ \Delta POC $ прямоугольный, так как _______ , $ PC = $ _______ , $ CO = $ _______ см, поэтому $ \cos \varphi = $ _______ $ = $ _______ $ = $ _______ .

Отсюда получаем, что $ \varphi = $ _______ .

Ответ.

_______ .

Решение.

Пусть $PO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Поскольку отрезки $PA$, $PB$ и $PC$ — равные наклонные, проведенные из одной точки $P$ к плоскости $ABC$, то их проекции тоже равны, т. е. $OA = OB = OC$. А потому точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный, то центр описанной окружности является серединой гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$. Так как $AB = 4\sqrt{3}$ см, то $CO = \frac{1}{2} AB = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Искомый угол $\phi$ между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$ есть угол между этой прямой (наклонной) и ее проекцией $OC$ на плоскость, т. е. $\phi = \angle PCO$. $\triangle POC$ прямоугольный, так как $PO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, и прямой $OC$, лежащей в этой плоскости. В прямоугольном $\triangle POC$ известны гипотенуза $PC = 4\sqrt{3}$ см и катет $CO = 2\sqrt{3}$ см, поэтому $\cos \phi = \frac{CO}{PC} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Отсюда получаем, что $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.