Страница 46 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

56 Через точку А, удаленную от плоскости $\alpha$ на расстояние $\sqrt{3}$ см, проведена прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке В. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если $AB = 2$ см.

Решение.

Пусть отрезок $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Тогда $AO = —$, прямая $OB$ — проекция прямой $AB$ на плоскость $\alpha$, и угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABO$. Из прямоугольного треугольника $AOB$ находим: $\sin \angle ABO = — = —$, следовательно, $\angle ABO = —$.

Ответ. —

По условию задачи, точка A удалена от плоскости $\alpha$ на расстояние $\sqrt{3}$ см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, длина отрезка $AO$ равна $\sqrt{3}$ см, и $AO \perp \alpha$.

Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является наклонной к плоскости $\alpha$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Следовательно, нам нужно найти величину угла $\angle ABO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OB$. Значит, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ нам известны:
- катет $AO = \sqrt{3}$ см (противолежащий углу $\angle ABO$);
- гипотенуза $AB = 2$ см.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle ABO$ имеем:
$\sin(\angle ABO) = \frac{AO}{AB}$

Подставим известные значения:
$\sin(\angle ABO) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого равенства находим величину угла $\angle ABO$:
$\angle ABO = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

57 В прямоугольном треугольнике ABC $ \angle C = 90^\circ, AB = 4\sqrt{3} $ см. Точка P не лежит в плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние $ 4\sqrt{3} $ см. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC.

Решение.

Пусть PO — перпендикуляр к плоскости ABC. Поскольку отрезки $ PA, PB $ и $ PC $ — равные наклонные, проведенные из _______ к _______, то их проекции тоже _______ , т. е. $ OA = $ _______ $ = $ _______ , а потому точка $ O $ — центр окружности, _______ .

Следовательно, точка $ O $ — середина _______ .

Так как $ AB = $ _______ , то $ CO = \frac{1}{2} $ _______ $ = $ _______ см.

Искомый угол $ \varphi $ между прямой _______ и плоскостью _______ есть угол между _______ , т. е. $ \varphi = \angle $ _______ . $ \Delta POC $ прямоугольный, так как _______ , $ PC = $ _______ , $ CO = $ _______ см, поэтому $ \cos \varphi = $ _______ $ = $ _______ $ = $ _______ .

Отсюда получаем, что $ \varphi = $ _______ .

Ответ.

_______ .

Решение.

Пусть $PO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Поскольку отрезки $PA$, $PB$ и $PC$ — равные наклонные, проведенные из одной точки $P$ к плоскости $ABC$, то их проекции тоже равны, т. е. $OA = OB = OC$. А потому точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный, то центр описанной окружности является серединой гипотенузы. Следовательно, точка $O$ — середина гипотенузы $AB$. Так как $AB = 4\sqrt{3}$ см, то $CO = \frac{1}{2} AB = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Искомый угол $\phi$ между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$ есть угол между этой прямой (наклонной) и ее проекцией $OC$ на плоскость, т. е. $\phi = \angle PCO$. $\triangle POC$ прямоугольный, так как $PO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, и прямой $OC$, лежащей в этой плоскости. В прямоугольном $\triangle POC$ известны гипотенуза $PC = 4\sqrt{3}$ см и катет $CO = 2\sqrt{3}$ см, поэтому $\cos \phi = \frac{CO}{PC} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Отсюда получаем, что $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.