Страница 44 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

52 Расстояние от точки $M$ до каждой из вершин правильного треугольника $ABC$ равно 4 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если $AB = 6$ см (задача 143 учебника).

Решение.

Пусть $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, тогда расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно ______ . Так как $MO \perp \alpha$, то $MO \perp OA$, $MO \perp$ _______, $MO \perp$ _______. $\triangle AOM = $ _______ $= $ _______ по _______, следовательно, $OA = OB = OC$, т. е. точка $O$ равноудалена от _______ и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому $AO = $ _______ $= $ _______ (см), и из прямоугольного треугольника $AMO$ находим: $MO = $ _______ $= $ _______ (см) $= $ _______ см.

Ответ.

_______ см.

Решение. Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда длина отрезка $MO$ является искомым расстоянием от точки $M$ до плоскости $ABC$.
Поскольку прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, треугольники $\Delta AOM$, $\Delta BOM$ и $\Delta COM$ являются прямоугольными ($\angle MOA = \angle MOB = \angle MOC = 90^\circ$).
Эти три прямоугольных треугольника равны по катету и гипотенузе: у них общий катет $MO$, а гипотенузы равны по условию задачи: $MA = MB = MC = 4$ см.
Из равенства треугольников следует равенство их катетов: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ и, следовательно, является центром описанной около него окружности. Радиус $R$ этой окружности равен длине отрезка $OA$.
Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае сторона $a = AB = 6$ см.
Найдем $AO$:
$AO = R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь, зная два катета в прямоугольном треугольнике $AMO$ (гипотенузу $MA=4$ см и катет $AO=2\sqrt{3}$ см), по теореме Пифагора найдем второй катет $MO$:
$MA^2 = AO^2 + MO^2$
$MO = \sqrt{MA^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - (4 \cdot 3)} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.
Ответ: 2 см.

53 Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник $CBD$ прямоугольный (задача 145 а учебника).

Доказательство. Из точки $D$ к плоскости $ABC$ проведены перпендикуляр _______ и наклонная _______. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна к проекции _______ наклонной _______ на эту плоскость, поэтому, согласно _______. $BC \perp DC$, т. е. треугольник $CBD$ _______

Доказательство.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Сначала определим все необходимые элементы в нашей пространственной конфигурации.

По условию, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что:

• $AD$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$.
• Точка $A$ — основание этого перпендикуляра.
• $DC$ — это наклонная, проведенная из точки $D$ к плоскости $(ABC)$ (так как $C$ не совпадает с $A$).
• $AC$ — это проекция наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$, так как она соединяет основание перпендикуляра ($A$) и основание наклонной ($C$).

Также по условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Из этого следует, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах, которая гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае:

• Прямая, лежащая в плоскости — это $BC$.
• Наклонная — это $DC$.
• Ее проекция на плоскость — это $AC$.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AC$ ($BC \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах она будет перпендикулярна и самой наклонной $DC$. Таким образом, мы доказали, что $BC \perp DC$.

Так как $BC \perp DC$, угол $\angle BCD$ является прямым. Следовательно, треугольник $CBD$ является прямоугольным по определению.

Заполняя пропуски в тексте из задания, получаем следующее утверждение:

Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр AD и наклонная DC. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции AC наклонной DC на эту плоскость, поэтому, согласно теореме о трех перпендикулярах, $BC \perp DC$, т. е. треугольник CBD прямоугольный.

Ответ: Треугольник $CBD$ является прямоугольным, что и требовалось доказать.