Страница 50 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

63 В треугольнике $ABC$ $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см. Точка $M$ удалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$ на 5 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если известно, что ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Решение.

Пусть $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $MN$, $MP$ и $MQ$ — перпендикуляры к прямым $AB$, $BC$ и $AC$. Требуется найти $MO$. По теореме, ______ имеем: $AB \perp ON$, $BC \perp$ ______ и $AC \perp$ ______. Итак, из точки $M$ проведены к плоскости $ABC$ перпендикуляр $MO$ и наклонные $MN$, $MP$ и $MQ$. По условию расстояния от точки $M$ до прямых $AB$, $BC$ и $AC$ равны, т. е. равны наклонные ______ , и ______ . Следовательно, потому равны и их проекции на эту плоскость: ______ . Таким образом, точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$ и равноудалена от ______ , поэтому она является ______ .

Радиус $ON$ этой окружности найдем, используя формулу $S = pr$, где $S$ — площадь треугольника $ABC$, $p$ — его ______ , $r = ON$. По формуле Герона $S = $ ______ см$^2$, следовательно, $r = \frac{S}{p} = $ ______ (см) = ______ см.

Итак, $NO = $ ______ см.

Треугольник $MON$ ______ , поскольку $MO \perp ABC$, и потому $MO \perp ON$. Так как $MN = $ ______ , $ON = $ ______ , то из треугольника $MON$ находим: $MO = $ ______ см.

Ответ.

______ см.

Пусть $MO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда длина отрезка $MO$ — это искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

По условию, точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MN$, $MP$ и $MQ$ к прямым $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, $MN = MP = MQ = 5$ см. Эти отрезки являются наклонными к плоскости $ABC$.

Отрезки $ON$, $OP$ и $OQ$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $ABC$. Так как наклонные, проведенные из одной точки, равны, то равны и их проекции. Следовательно, $ON = OP = OQ$.

Поскольку точка $O$ (проекция точки $M$) лежит внутри треугольника и равноудалена от его сторон ($ON \perp AB$, $OP \perp BC$, $OQ \perp AC$), то $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Длина отрезков $ON$, $OP$ и $OQ$ равна радиусу этой окружности ($r$).

Найдем радиус вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр треугольника $ABC$ со сторонами $a=13$ см, $b=14$ см, $c=15$ см: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см. Таким образом, $ON = 4$ см.

Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Рассмотрим треугольник $MON$. Так как $MO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $ON$ лежит в этой плоскости, то $MO \perp ON$. Следовательно, треугольник $MON$ — прямоугольный.

В этом треугольнике:

• $MN$ — гипотенуза, $MN = 5$ см (расстояние от $M$ до стороны $AB$).
• $ON$ — катет, $ON = r = 4$ см (радиус вписанной окружности).
• $MO$ — катет, искомое расстояние.

По теореме Пифагора: $MO^2 + ON^2 = MN^2$ $MO = \sqrt{MN^2 - ON^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.