Страница 56 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

75 Основание прямой призмы — тре-угольник $ABC$, в котором $AB = \sqrt{7}$, $AC = 2$, $BC = 3$. Найдите двугранный угол при боковом ребре $CC_1$.

Решение.

1) Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ пря-мая, то ребро $CC_1$ __________ к плоскости $ABC$, а значит, $AC$ _______ $CC_1$ и $BC$ _______ $CC_1$ (по ____________ прямой, перпендикулярной к плоско-сти). Следовательно, угол $ACB$ является __________ углом искомого двугранного угла $ACC_1B$.

2) В треугольнике $ABC$ $AB^2 = AC^2 + \_\_\_ - 2 \cdot \_\_\_ \cdot \_\_\_ \cos C$ (теорема _________), т. е. $(\sqrt{7})^2 = \_\_\_ + \_\_\_ - \_\_\_$, откуда $\cos C = \_\_\_ = \_\_\_$. Следовательно, $\angle ACB = \_\_\_$, т. е. двугранный угол $ACC_1B$ равен $\_\_\_.$

Ответ.

1) По условию, призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $CC_{1}$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.
Из определения прямой, перпендикулярной плоскости, следует, что ребро $CC_{1}$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения $C$. Таким образом, $AC \perp CC_{1}$ и $BC \perp CC_{1}$.
Двугранный угол при ребре $CC_{1}$ образован полуплоскостями $(ACC_{1})$ и $(BCC_{1})$. Его линейный угол — это угол между двумя лучами, проведенными в этих полуплоскостях перпендикулярно ребру $CC_{1}$ из одной точки на нем. Лучи $CA$ и $CB$ удовлетворяют этим условиям: они лежат в гранях двугранного угла, исходят из точки $C$ на ребре и перпендикулярны ему.
Следовательно, угол $ACB$ является линейным углом искомого двугранного угла. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.

2) Найдем величину угла $ACB$ из треугольника $ABC$, стороны которого известны: $AB = \sqrt{7}$, $AC = 2$, $BC = 3$.
Воспользуемся теоремой косинусов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
Подставим известные значения:
$(\sqrt{7})^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\angle ACB)$
$7 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos(\angle ACB)$
$7 = 13 - 12 \cdot \cos(\angle ACB)$
$12 \cdot \cos(\angle ACB) = 13 - 7$
$12 \cdot \cos(\angle ACB) = 6$
$\cos(\angle ACB) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^{\circ}$.
Следовательно, $\angle ACB = 60^{\circ}$.
Так как двугранный угол при ребре $CC_1$ равен своему линейному углу $\angle ACB$, его величина также равна $60^{\circ}$.
Ответ: $60^{\circ}$.

76 Диагональ AC основания прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 6 см, а высота призмы равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите угол наклона диагонали $A_1C$ к плоскости основания.

Решение.

1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро ____________ к плоскости ____________ и равно высоте ____________ , т. е. $AA_1 = 6\sqrt{3}$ см.

2) Поскольку прямая $AA_1$ ____________ к плоскости $ABC$, то прямая $AC$ является ____________ прямой $A_1C$ на плоскость $ABC$, и, следовательно, угол наклона ____________ $A_1C$ к плоскости $ABC$ равен углу ____________ .

3) Поскольку прямая $AA_1$ ____________ к плоскости $ABC$, то $AA_1$ ____________ $AC$ (по определению прямой, ____________ к плоскости).

Из прямоугольного треугольника $A_1AC$ получаем: $tg \angle A_1CA = AA_1 :$ ____________ $=$ ____________ : ____________ $=$ ____________ . Следовательно, $\angle A_1CA = \text{____________}}$

Ответ. ____________ .

1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно высоте, т. е. $AA_1 = 6\sqrt{3}$ см.

2) Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна к плоскости $ABC$, то прямая $AC$ является проекцией прямой $A_1C$ на плоскость $ABC$, и, следовательно, угол наклона прямой $A_1C$ к плоскости $ABC$ равен углу $A_1CA$.

3) Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна к плоскости $ABC$, то $AA_1 \perp AC$ (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости).
Из прямоугольного треугольника $A_1AC$ получаем: $\text{tg}\angle A_1CA = AA_1 : AC = 6\sqrt{3} : 6 = \sqrt{3}$. Следовательно, $\angle A_1CA = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.