Страница 49 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

61 Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если его диагональ $BD_1 = 24$ см и составляет с плоскостью грани $DAA_1$ угол в $45^\circ$, а с ребром $DD_1$ — угол в $60^\circ$.

Решение.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — _____, поэтому $BA \perp$ _____, $BA \perp$ _____, и, следовательно, $BA \perp DAA_1$. Прямая $BD_1$ пересекает плоскость $DAA_1$ в точке _____, а прямая $AD_1$ — проекция _____ на эту плоскость, поэтому $\angle AD_1B$ — это угол _____ между диагональю _____ и _____.

По условию $\angle AD_1B = \text{_____}$. Из прямоугольного треугольника $AD_1B$, в котором $\angle A = \text{_____}$, $D_1B = \text{_____}$ и $\angle D_1 = \text{_____}$, находим: $AB = AD_1 = \text{_____} = \text{_____}$ см. Из прямоугольного треугольника $BD_1D$, в котором $\angle D = \text{_____}$, $BD_1 = \text{_____}$, $\angle BD_1D = \text{_____}$ по условию, получаем: $D_1D = \frac{1}{2} \text{_____} = \text{_____}$ см. Из треугольника $AD_1D$, в котором $\angle D = \text{_____}$, $AD_1 = \text{_____}$, $DD_1 = \text{_____}$, находим: $AD = \text{_____}$ см.

Ответ. _____

Решение.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$: длина $AD$, ширина $AB$ и высота $DD_1$. По условию задачи, диагональ параллелепипеда $BD_1 = 24$ см.

1. Угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью грани $DAA_1D_1$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на данную плоскость. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $DAA_1D_1$. Следовательно, проекцией наклонной $BD_1$ на эту плоскость является отрезок $AD_1$. Таким образом, угол между $BD_1$ и плоскостью $DAA_1D_1$ — это угол $\angle AD_1B$. По условию, $\angle AD_1B = 45^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABD_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $DAA_1D_1$, оно перпендикулярно и прямой $AD_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\triangle ABD_1$ — прямоугольный ($\angle A = 90^\circ$). В этом треугольнике известны гипотенуза $BD_1 = 24$ см и угол $\angle AD_1B = 45^\circ$. Найдем катеты $AB$ и $AD_1$:

$AB = BD_1 \cdot \sin(\angle AD_1B) = 24 \cdot \sin(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.

$AD_1 = BD_1 \cdot \cos(\angle AD_1B) = 24 \cdot \cos(45^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Таким образом, ширина параллелепипеда $AB = 12\sqrt{2}$ см.

2. Угол между диагональю $BD_1$ и ребром $DD_1$ по условию равен $60^\circ$, то есть $\angle BD_1D = 60^\circ$.

Рассмотрим $\triangle BDD_1$. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, оно перпендикулярно и диагонали $BD$. Следовательно, $\triangle BDD_1$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$). В нем известны гипотенуза $BD_1 = 24$ см и угол $\angle BD_1D = 60^\circ$. Найдем катет $DD_1$ (высоту параллелепипеда):

$DD_1 = BD_1 \cdot \cos(\angle BD_1D) = 24 \cdot \cos(60^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Таким образом, высота параллелепипеда $DD_1 = 12$ см.

3. Теперь найдем длину $AD$. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. Это прямоугольник, следовательно, $\triangle ADD_1$ — прямоугольный ($\angle D = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AD_1 = 12\sqrt{2}$ см и катет $DD_1 = 12$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения катета $AD$:

$AD^2 + DD_1^2 = AD_1^2$

$AD^2 = AD_1^2 - DD_1^2 = (12\sqrt{2})^2 - 12^2 = 144 \cdot 2 - 144 = 288 - 144 = 144$

$AD = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, длина параллелепипеда $AD = 12$ см.

Измерениями прямоугольного параллелепипеда являются $12$ см, $12$ см и $12\sqrt{2}$ см.

Ответ: $12 \text{ см}, 12 \text{ см}, 12\sqrt{2} \text{ см}$.

62 Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника (задача 200 учебника).

Доказательство. Пусть прямая $a$ проходит через центр $O$ окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2...A_n$, и перпендикулярна к плоскости $\alpha$ этого многоугольника. Ясно, что точка $O$ равноудалена от вершин многоугольника, так как является центром описанной около него окружности: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$. Пусть $M$ — произвольная точка прямой $a$, отличная от точки $O$. Тогда

$MO$ — перпендикуляр, $MA_1$, $MA_2$, ..., $MA_n$ —

проведенные из точки — к —, а $OA_1$,

$OA_2$, ..., $OA_n$ — проекции наклонных на —. Так

как проекции равны, то равны и —. Т. е.

—. Таким образом, любая точка прямой $a$

равноудалена от —.

Доказательство

Пусть прямая $a$ проходит через центр $O$ окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2...A_n$, и перпендикулярна к плоскости $\alpha$ этого многоугольника. Ясно, что точка $O$ равноудалена от вершин многоугольника, так как является центром описанной около него окружности: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Пусть $M$ — произвольная точка прямой $a$, отличная от точки $O$. Тогда $MO$ — перпендикуляр, $MA_1, MA_2, ..., MA_n$ — наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\alpha$, а $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ — проекции наклонных на плоскость $\alpha$. Так как проекции равны ($OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$), то равны и сами наклонные, т. е. $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$. Таким образом, любая точка прямой $a$ равноудалена от вершин этого многоугольника.

Это можно также показать с помощью теоремы Пифагора. Для любого $i$ от 1 до $n$, треугольник $\triangle MOA_i$ является прямоугольным, так как $MO \perp \alpha$ и $OA_i \subset \alpha$. Катет $MO$ является общим для всех таких треугольников, а катеты $OA_i$ равны как радиусы описанной окружности. Следовательно, гипотенузы $MA_i$ также равны:

$MA_i = \sqrt{MO^2 + OA_i^2}$

Поскольку $MO$ и $OA_i$ (как радиус) имеют постоянную длину для всех $i$, то и $MA_i$ равны между собой. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, представленное в задаче, доказано. Любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к его плоскости, действительно равноудалена от вершин этого многоугольника.