Страница 47 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

58 К плоскости равнобедренного прямо-угольного треугольника ABC с гипотену-зой $AB = 12\sqrt{3}$ см проведен перпендику-ляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB.

Решение.

Треугольники ABC и ADB равнобедренные: $\triangle ABC$ ___ , а в $\triangle ADB$ DA = ___ , так как эти стороны ___ .

___ . Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из вершин C и D к общему основанию ___ , явля-ются ___ , и, следовательно, $\angle DFC$ — линейный угол ___ , а значит, угол между плоско-стями DAB и CAB равен $\angle$ ___ . $\triangle DCF$ прямоугольный, DC = ___ , CF = $\frac{1}{2}$ ___ = ___ см и поэтому $tg \angle DFC = \frac{___}{___}$ = ___ = ___ , откуда $\angle DFC$ = ___ .

Ответ.

___

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с гипотенузой $AB$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$.

Проведем из вершины $C$ медиану $CF$ к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Кроме того, в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $CF$ перпендикулярна $AB$ ($CF \perp AB$) и ее длина равна:$CF = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Поскольку $DC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $DC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в частности $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Следовательно, треугольники $\Delta DCA$ и $\Delta DCB$ являются прямоугольными. Эти треугольники равны по двум катетам ($DC$ — общий катет, $AC = BC$ по условию). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $DA = DB$.

Это означает, что треугольник $ADB$ также является равнобедренным с основанием $AB$. Проведем в нем медиану $DF$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой, поэтому $DF \perp AB$.

Угол между двумя плоскостями $(DAB)$ и $(CAB)$ измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линия пересечения плоскостей — $AB$. Мы построили два перпендикуляра к этой линии в одной точке $F$: $CF$ в плоскости $(CAB)$ и $DF$ в плоскости $(DAB)$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу $\angle DFC$.

Рассмотрим треугольник $\Delta DCF$. Так как $DC \perp (ABC)$ и прямая $CF$ лежит в этой плоскости, то $DC \perp CF$. Значит, треугольник $\Delta DCF$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

Мы знаем длины катетов этого треугольника: $DC = 18$ см (по условию) и $CF = 6\sqrt{3}$ см (как мы нашли ранее). Найдем тангенс угла $\angle DFC$:$\text{tg}(\angle DFC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DC}{CF} = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $60^\circ$. Таким образом, $\angle DFC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

59 Катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен 60°. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 5$ см, $AB = 13$ см (задача 172 учебника).

Решение.

Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Отрезок $BC$ — наклонная к ______, отрезок $OC$ — проекция наклонной ______ на _______, а прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна к наклонной $BC$. Следовательно, согласно ______

$AC \perp OC$. Таким образом, $\angle BCO$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $ABC$, и, значит, $\angle BCO = $______

$\triangle ABC$ прямоугольный: $\angle C = $______, $AC = $______, $AB = $______, поэтому $BC = $______

$\triangle BCO$ прямоугольный: $\angle O = $______, $\angle BCO = $______, $BC = $______, следовательно, $BO = $______ см = ______ см.

Ответ. ______ см.

1. Определение искомого расстояния и линейного угла.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Проведем перпендикуляр $BO$ к плоскости $\alpha$. Таким образом, $BO$ — искомое расстояние.

Отрезок $BC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $OC$ — ее проекцией на эту плоскость. По условию задачи, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$), следовательно, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Так как прямая $AC$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна наклонной $BC$, то по теореме о трех перпендикулярах она будет перпендикулярна и проекции этой наклонной, то есть $AC \perp OC$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ является двугранным углом. Его величина измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами к линии пересечения плоскостей. Линией пересечения в данном случае является прямая $AC$. Поскольку $BC \perp AC$ и $OC \perp AC$, угол $\angle BCO$ является линейным углом двугранного угла. По условию, его величина составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle BCO = 60^\circ$.

2. Нахождение длины катета BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Из условия нам известны длины гипотенузы $AB = 13$ см и катета $AC = 5$ см. Выразим и найдем длину катета $BC$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Вычисление расстояния BO.

Рассмотрим треугольник $BCO$. Так как $BO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $O$. Следовательно, $BO \perp OC$, и треугольник $BCO$ — прямоугольный с прямым углом $O$.

В прямоугольном треугольнике $BCO$ нам известна гипотенуза $BC = 12$ см и острый угол $\angle BCO = 60^\circ$. Искомое расстояние $BO$ является катетом, противолежащим этому углу.

Используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике, получаем:

$\sin(\angle BCO) = \frac{BO}{BC}$

Отсюда находим $BO$:

$BO = BC \cdot \sin(\angle BCO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.