Страница 51 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

64 Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке многогранников?

а) Тетраэдр

б) Параллелепипед

в) Октаэдр

Решение.

а) Тетраэдр DABC составлен из ____ граней. Он имеет ____ ребер и ____ вершины. Диагональю многогранника называется ____ , соединяющий две ____ , не принадлежащие одной грани, следовательно, у него ____ диагоналей.

б) ____ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ составлен из ____ граней. Он имеет ____ ребер, ____ вершин и ____ диагонали ($AC_1$, ____).

в) ____ $NABCDS$ имеет ____ ____ и ____ диагонали ($AC$, ____).

а) Тетраэдр

Тетраэдр $DABC$ (треугольная пирамида) имеет следующие элементы:

• Грани: Это плоские многоугольники, которые образуют поверхность многогранника. У тетраэдра $4$ грани, каждая из которых является треугольником: основание $ABC$ и три боковые грани $DAB$, $DBC$, $DAC$.
• Ребра: Это отрезки, являющиеся сторонами граней. Ребра основания: $AB$, $BC$, $CA$. Боковые ребра: $DA$, $DB$, $DC$. Всего $3 + 3 = 6$ ребер.
• Вершины: Это точки, в которых сходятся ребра. Вершины: $A$, $B$, $C$, $D$. Всего $4$ вершины.
• Диагонали: Это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной и той же грани. В тетраэдре любые две вершины принадлежат одной грани (и соединены ребром). Следовательно, у тетраэдра нет диагоналей.

Ответ: $4$ грани, $6$ ребер, $4$ вершины, $0$ диагоналей.

б) Параллелепипед

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет следующие элементы:

• Грани: У параллелепипеда $2$ основания ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) и $4$ боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DAA_1D_1$). Все грани являются параллелограммами. Всего $2 + 4 = 6$ граней.
• Ребра: $4$ ребра в нижнем основании, $4$ ребра в верхнем основании и $4$ боковых ребра, соединяющих основания. Всего $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
• Вершины: $4$ вершины в нижнем основании ($A$, $B$, $C$, $D$) и $4$ вершины в верхнем основании ($A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$). Всего $4 + 4 = 8$ вершин.
• Диагонали: Это отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани (пространственные диагонали). Такими диагоналями являются отрезки, соединяющие противоположные вершины: $AC_1$, $BD_1$, $A_1C$, $B_1D$. Всего $4$ диагонали.

Ответ: $6$ граней, $12$ ребер, $8$ вершин, $4$ диагонали.

в) Октаэдр

Октаэдр $NABCDS$ (две четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием $ABCD$) имеет следующие элементы:

• Грани: Октаэдр имеет $8$ граней, каждая из которых является треугольником. $4$ грани образуют верхнюю пирамиду ($NAB$, $NBC$, $NCD$, $NDA$) и $4$ грани образуют нижнюю пирамиду ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$). Всего $8$ граней.
• Ребра: $4$ ребра в общем "экваториальном" четырехугольнике ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$), $4$ ребра, идущих к "северному полюсу" $N$ ($NA$, $NB$, $NC$, $ND$), и $4$ ребра, идущих к "южному полюсу" $S$ ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$). Всего $4 + 4 + 4 = 12$ ребер.
• Вершины: $4$ вершины в "экваториальной" плоскости ($A$, $B$, $C$, $D$) и $2$ вершины-полюса ($N$ и $S$). Всего $4 + 2 = 6$ вершин.
• Диагонали: Это отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани. Такими являются отрезки, проходящие через центр многогранника: $NS$, $AC$ и $BD$. Всего $3$ диагонали.

Ответ: $8$ граней, $12$ ребер, $6$ вершин, $3$ диагонали.

65 Параллелепипед разрезали на два многогранника $F_1$ и $F_2$. Какой из получившихся многогранников выпуклый и какой невыпуклый?

Решение.

а) Многогранник $F_1$ — параллелепипед. Он расположен по одну сторону от __________ его грани. Следовательно, $F_1$ — __________ многогранник.

б) Верхняя грань многогранника $F_2$ является невыпуклым __________, следовательно, $F_2$ — __________ многогранник.

Ответ.

$F_1$ — __________ многогранник,

$F_2$ — __________ многогранник.

а) Многогранник $F_1$ является параллелепипедом. По определению, многогранник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Параллелепипед полностью удовлетворяет этому условию, так как для любой его грани, продолженной до плоскости, весь многогранник будет лежать по одну сторону от неё. Следовательно, $F_1$ — выпуклый многогранник.

б) Многогранник $F_2$ имеет выемку. Если рассмотреть одну из внутренних граней, образовавшихся после разреза, и провести через нее плоскость, то многогранник $F_2$ окажется по обе стороны от этой плоскости. Это противоречит определению выпуклого многогранника. Также можно отметить, что верхняя грань многогранника $F_2$ является невыпуклым многоугольником. Следовательно, $F_2$ — невыпуклый многогранник.

Ответ:
$F_1$ — выпуклый многогранник,
$F_2$ — невыпуклый многогранник.