Страница 57 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

77 Основание призмы — равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$), а боковое ребро $BB_1$ образует равные острые углы с ребрами $AB$ и $BC$. Докажите, что прямые $BB_1$ и $AC$ взаимно перпендикулярны.

Доказательство. Докажем, что проекция прямой $BB_1$ на _______ $ABC$ перпендикулярна к прямой _______, тогда по теореме о трех _______ получим: $BB_1$ _______ $AC$.

1) Проведем перпендикуляр $B_1H$ к плоскости _______, тогда прямая $BH$ — _______ прямой $BB_1$ на плоскость $ABC$.

2) Пусть $B_1M \perp AB$, $B_1K \perp BC$. Так как по условию задачи $\angle B_1BA = \angle _______$, то $\triangle B_1BM = \triangle _______$ (по гипотенузе и острому _______), следовательно, $BM = _______ BK$.

3) $B_1M \perp _______$ и отрезок $B_1H$ — _______ к плоскости $ABC$, следовательно, $MH \perp AB$ как проекция наклонной _______ на плоскость $ABC$ (по обратной теореме о трех _______). Аналогично $KH _______ BC$.

4) $\triangle BMH _______ \triangle BKH$ (по катету и _______), следовательно, $\angle MBH = \angle _______$, т. е. отрезок $BO$ — _______ треугольника $ABC$.

5) Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC$ — его _______, то биссектриса $BO$ является _______ треугольника, т. е. $BO \perp _______$, и, следовательно, $BB_1 _______ AC$, что и требовалось доказать.

Доказательство. Докажем, что проекция прямой $BB_1$ на плоскость $ABC$ перпендикулярна к прямой $AC$, тогда по теореме о трех перпендикулярах получим: $BB_1 \perp AC$.
Ответ: $AC$, перпендикулярах, $\perp$

1) Проведем перпендикуляр $B_1H$ к плоскости $ABC$, тогда прямая $BH$ — проекция прямой $BB_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ: $ABC$.

2) Пусть $B_1M \perp AB$, $B_1K \perp BC$. Так как по условию задачи $\angle B_1BA = \angle B_1BC$, то $\triangle B_1BM = \triangle B_1BK$ (по гипотенузе и острому углу), следовательно, $BM = BK$.
Ответ: $\angle B_1BC$, $\triangle B_1BK$, углу, $BK$.

3) $B_1M \perp AB$ и отрезок $B_1H$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, следовательно, $MH \perp AB$ как проекция наклонной $B_1M$ на плоскость $ABC$ (по обратной теореме о трех перпендикулярах). Аналогично $KH \perp BC$.
Ответ: $AB$, перпендикуляр, $B_1M$, перпендикулярах, $\perp$.

4) $\triangle BMH = \triangle BKH$ (по катету и гипотенузе), следовательно, $\angle MBH = \angle KBH$, т. е. отрезок $BO$ — биссектриса треугольника $ABC$.
Ответ: $=$, гипотенузе, $\angle KBH$, биссектриса.

5) Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC$ — его основание, то биссектриса $BO$ является и высотой треугольника, т. е. $BO \perp AC$, и, следовательно, $BB_1 \perp AC$, что и требовалось доказать.
Ответ: $ABC$, основание, и высотой, $AC$, $\perp$.