Номер 82, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

82 Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Решение.

1) Пусть отрезок $MO$ — высота ___________. Так как $MA = MB = _______ = _______ = _______$, то $OA = _______ = _______ = _______$, поэтому точка $O$ — центр __________, около параллелограмма $ABCD$. Но тогда параллелограмм является __________, диагонали которого пересекаются в точке _______ и равны друг другу.

2) По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AB^2 + _______} = \sqrt{6^2 + _______} = \sqrt{_______} = _______$ (см), следовательно, $OA = _______$ см.

3) $MO \perp ABC$, поэтому $MO$ _______ $OA$. В треугольнике $AMO$ $MA = \sqrt{OA^2 + _______} = \sqrt{5^2 + _______} = \sqrt{_______} = _______$ (см).

Ответ. _______

1) Пусть отрезок $MO$ — высота пирамиды. По условию все боковые ребра пирамиды равны: $MA = MB = MC = MD$. Прямоугольные треугольники $MOA$, $MOB$, $MOC$ и $MOD$ равны по общему катету $MO$ и гипотенузам, которые равны по условию ($MA=MB=MC=MD$). Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$. Это означает, что точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех вершин основания, то есть является центром окружности, описанной около параллелограмма $ABCD$. Параллелограмм, вокруг которого можно описать окружность, является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам.
Ответ: Основание пирамиды $ABCD$ является прямоугольником, а точка $O$ — это точка пересечения его диагоналей.

2) Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $B$. По теореме Пифагора найдем длину диагонали $AC$, используя данные длины сторон $AB=6$ см и $BC=8$ см:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ (см).
Так как точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то длина отрезка $OA$ равна половине длины $AC$:
$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ (см).
Ответ: Длина отрезка $OA$ равна 5 см.

3) Отрезок $MO$ является высотой пирамиды, поэтому он перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Это значит, что $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$, следовательно, $MO \perp OA$. Таким образом, треугольник $AMO$ является прямоугольным с прямым углом $MOA$. Зная длины катетов $OA = 5$ см и $MO = 12$ см (высота пирамиды), по теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $MA$, которая является боковым ребром пирамиды:
$MA = \sqrt{OA^2 + MO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ (см).
Ответ: Длина бокового ребра равна 13 см.