Номер 88, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

88 Плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.

Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и параллельны, то $A_1B_1$ $AB$ ( параллельных плоскостей). Аналогично $B_1C_1$ $BC$, $A_1C_1$ $AC$ и $A_1O_1$ $AO$.

Поэтому $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}; $

$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}; $

$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A}. $

Итак, $ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \text{_______} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2} $, что и требовалось доказать.

Доказательство.

Пусть дана треугольная пирамида $MABC$ с вершиной $M$ и основанием $ABC$. $MO$ — ее высота. Плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости основания $(ABC)$ и пересекает высоту в точке $O_1$ так, что по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на боковых ребрах $MA, MB, MC$ соответственно.

Так как плоскости $(A_1B_1C_1)$ и $(ABC)$ параллельны, то их линии пересечения с третьей плоскостью также будут параллельны.

• Плоскость боковой грани $(MAB)$ пересекает параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $AB$, следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.
• Аналогично, в плоскости $(MBC)$ имеем $B_1C_1 \parallel BC$.
• В плоскости $(MAC)$ имеем $A_1C_1 \parallel AC$.
• В плоскости $(MAO)$ имеем $A_1O_1 \parallel AO$.

Рассмотрим угол $AMO$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1O_1$ и $AO$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} $$Так как по условию $\frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$, то и $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2}$.

Применим ту же теорему к другим углам, образованным боковыми ребрами:

• Для угла $AMB$ и параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$: $$ \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$
• Для угла $AMC$ и параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$: $$ \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{1}{2} $$

Итак, мы показали, что все боковые ребра делятся плоскостью в одном и том же отношении:$$ \frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MC_1}{C_1C} = \frac{1}{2} $$Что и требовалось доказать.

Заполненный текст из упражнения:

Доказательство. Так как плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ параллельны, то $A_1B_1 \underline{\parallel} AB$ (по свойству пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью). Аналогично $B_1C_1 \underline{\parallel} BC$, $A_1C_1 \underline{\parallel} AC$ и $A_1O_1 \underline{\parallel} AO$.

Поэтому $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MO_1}{O_1O} = \frac{1}{2}$; $\frac{MB_1}{B_1B} = \frac{MA_1}{A_1A}$;

$\frac{MC_1}{C_1C} = \frac{MA_1}{\underline{A_1A}}$.

Итак, $\frac{MA_1}{A_1A} = \frac{MB_1}{\underline{B_1B}} = \frac{\underline{MC_1}}{\underline{C_1C}} = \frac{MO_1}{\underline{O_1O}} = \frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскость, параллельная основанию треугольной пирамиды и делящая ее высоту в отношении $1:2$ от вершины, делит и боковые ребра в том же отношении.