Номер 91, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

91 Диагонали куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите вершину, симметричную вершине $D$ относительно:

a) точки $O$;

б) прямой $AC$;

в) плоскости $ACC_1$.

Решение.

a) Точка $O$ является __________ отрезка $DB_1$, следовательно, вершины $D$ и __________ симметричны относительно __________ $O$.

б) Диагонали квадрата $ABCD$ взаимно __________ и делятся точкой пересечения __________. Следовательно, прямая $AC$ проходит через середину отрезка $BD$ и __________ к нему, т. е. точки $D$ и $B$ __________ __________ $AC$.

в) Так как $AA_1 \perp ABD$, то $AA_1$ __________ $BD$ (определение прямой, __________ к плоскости). Кроме того, $BD$ __________ $AC$. Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна к двум __________ прямым ($AA_1$ и $AC$) плоскости __________, поэтому $BD$ __________ $ACC_1$ (признак перпендикулярности __________ и плоскости). Прямая $AC$ пересекает отрезок $BD$ в его __________. Следовательно, плоскость $ACC_1$ проходит через __________ отрезка $BD$ и перпендикулярна к нему, поэтому точки $B$ и $D$ __________ __________ относительно плоскости $ACC_1$.

Ответ. a) Вершина __________; б) вершина __________; в) вершина __________.

а) Точка $O$ является серединой отрезка $DB_1$, следовательно, вершины $D$ и $B_1$ симметричны относительно точки $O$.

Ответ: вершина $B_1$.

б) Диагонали квадрата $ABCD$ взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, прямая $AC$ проходит через середину отрезка $BD$ и перпендикулярна к нему, т. е. точки $D$ и $B$ симметричны относительно прямой $AC$.

Ответ: вершина $B$.

в) Так как $AA_1 \perp$ плоскости $ABD$, то $AA_1 \perp BD$ (определение прямой, перпендикулярной к плоскости). Кроме того, $BD \perp AC$. Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ($AA_1$ и $AC$) плоскости $ACC_1$, поэтому $BD \perp$ плоскости $ACC_1$ (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Прямая $AC$ пересекает отрезок $BD$ в его середине. Следовательно, плоскость $ACC_1$ проходит через середину отрезка $BD$ и перпендикулярна к нему, поэтому точки $B$ и $D$ симметричны относительно плоскости $ACC_1$.

Ответ: вершина $B$.