Номер 97, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

97 От куба отсечены 8 тетраэдров так, что все грани получившегося многогранника — правильные многоугольники. Является ли этот многогранник правильным?

Решение. Проверим наличие признаков, указанных в определении правильного

1) Данный многогранник __________ выпуклым.

2) В каждой вершине сходится ________ число ребер (_______ ребра).

3) Все грани — правильные __________, но не все они равны друг другу: треугольник _________ восьмиугольнику.

Следовательно, данный многогранник ___________ правильным.

Проверим наличие признаков, указанных в определении правильного многогранника.

1) Данный многогранник является выпуклым.

Обоснование: Исходный многогранник, куб, является выпуклым телом. Операция усечения вершин плоскостью у выпуклого многогранника не нарушает его выпуклости. Поэтому полученный многогранник также будет выпуклым. Это свойство соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: является.

2) В каждой вершине сходится одинаковое число ребер (три ребра).

Обоснование: Новые вершины многогранника образуются на рёбрах исходного куба. В каждой такой вершине сходятся три грани: одна треугольная (образовавшаяся на месте срезанной вершины) и две восьмиугольные (образовавшиеся из граней куба). Следовательно, в каждой вершине сходится три ребра. Благодаря симметрии куба, все вершины полученного многогранника эквивалентны, и в каждой из них сходится одинаковое число рёбер. Это свойство также соответствует определению правильного многогранника.

Ответ: одинаковое, три.

3) Все грани — правильные многоугольники, но не все они равны друг другу: треугольник не равен восьмиугольнику.

Обоснование: По условию задачи, все грани — правильные многоугольники. Однако, эти грани двух разных видов. 8 граней — это правильные треугольники (на месте 8 срезанных вершин куба), и 6 граней — это правильные восьмиугольники (на месте 6 граней куба). Правильный треугольник и правильный восьмиугольник не конгруэнтны (не равны).

Ответ: многоугольники, не равен.

Следовательно, данный многогранник не является правильным.

Итоговый вывод: Правильный многогранник (платоново тело) должен иметь все грани в виде равных (конгруэнтных) друг другу правильных многоугольников. Поскольку у рассматриваемого многогранника это условие не выполняется (есть грани двух разных типов: треугольники и восьмиугольники), он не является правильным. Такой многогранник относится к классу полуправильных (архимедовых) тел и называется усечённым кубом.

Ответ: не является.