Номер 98, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

98 Запишите в таблицу значения параметров: $n$ — число сторон грани правильного многогранника; $k$ — число ребер, сходящихся в одной вершине; $B$ — число вершин многогранника; $P$ — число ребер; $\Gamma$ — число граней. Напишите названия многогранников. Вычислите для каждого из них величину $B + \Gamma - P$.

$k = \_$

$n = \_, B = \_, P = \_$

$\Gamma = \_$

Правильный тетраэдр

(четырехгранник)

$B + \Gamma - P = \_$

$k = \_$

$B = \_, P = \_$

$\Gamma = \_$

Правильный

_

$B + \Gamma - P = \_$

$k = \_$

$B = \_, P = \_$

$\Gamma = \_$

_

_

$B + \Gamma - P = \_$

$n = \_, B = \_, P = \_$

$\Gamma = \_$

Правильный

_ (куб)

_

$B + \Gamma - P = \_$

Такой правильный

_

не существует

Такой правильный

_

_

$n = \_, B = \_, P = \_$

$\Gamma = \_$

_

_

$B + \Gamma - P = \_$

Такой правильный

_

_

_

_

_

Правильный тетраэдр (четырехгранник)

Это многогранник, изображенный в первой строке (грани - треугольники) и первом столбце (в вершине сходятся 3 ребра).
Определим его параметры:
n (число сторон грани): грани являются правильными треугольниками, поэтому $n=3$.
k (число ребер в вершине): в каждой вершине сходятся 3 ребра, поэтому $k=3$.
В (число вершин): у тетраэдра 4 вершины, $В=4$.
Г (число граней): у тетраэдра 4 грани, $Г=4$.
Р (число ребер): у тетраэдра 6 ребер, $Р=6$.
Вычислим величину $В + Г - Р$ (соотношение Эйлера для выпуклых многогранников):
$В + Г - Р = 4 + 4 - 6 = 2$.

Ответ: В ячейке (1,1) пропущены значения: n = 3, k = 3, В = 4, Р = 6, Г = 4, В + Г - Р = 2.

Правильный октаэдр (восьмигранник)

Это многогранник из первой строки ($n=3$) и второго столбца ($k=4$).
Определим его параметры:
n (число сторон грани): грани - правильные треугольники, $n=3$.
k (число ребер в вершине): в каждой вершине сходятся 4 ребра, $k=4$.
В (число вершин): у октаэдра 6 вершин, $В=6$.
Г (число граней): у октаэдра 8 граней, $Г=8$.
Р (число ребер): у октаэдра 12 ребер, $Р=12$.
Вычислим величину $В + Г - Р$:
$В + Г - Р = 6 + 8 - 12 = 2$.

Ответ: В ячейке (1,2) пропущены значения: n = 3, k = 4, В = 6, Р = 12, Г = 8, Название: Правильный октаэдр (восьмигранник), В + Г - Р = 2.

Правильный икосаэдр (двадцатигранник)

Это многогранник из первой строки ($n=3$) и третьего столбца ($k=5$).
Определим его параметры:
n (число сторон грани): грани - правильные треугольники, $n=3$.
k (число ребер в вершине): в каждой вершине сходятся 5 ребер, $k=5$.
В (число вершин): у икосаэдра 12 вершин, $В=12$.
Г (число граней): у икосаэдра 20 граней, $Г=20$.
Р (число ребер): у икосаэдра 30 ребер, $Р=30$.
Вычислим величину $В + Г - Р$:
$В + Г - Р = 12 + 20 - 30 = 2$.

Ответ: В ячейке (1,3) пропущены значения: n = 3, k = 5, В = 12, Р = 30, Г = 20, Название: Правильный икосаэдр (двадцатигранник), В + Г - Р = 2.

Правильный гексаэдр (куб)

Это многогранник из второй строки (грани - четырехугольники) и первого столбца ($k=3$).
Определим его параметры:
n (число сторон грани): грани являются квадратами, поэтому $n=4$.
k (число ребер в вершине): в каждой вершине сходятся 3 ребра, $k=3$.
В (число вершин): у куба 8 вершин, $В=8$.
Г (число граней): у куба 6 граней, $Г=6$.
Р (число ребер): у куба 12 ребер, $Р=12$.
Вычислим величину $В + Г - Р$:
$В + Г - Р = 8 + 6 - 12 = 2$.

Ответ: В ячейке (2,1) пропущены значения: n = 4, k = 3, В = 8, Р = 12, Г = 6, Название: Правильный гексаэдр, В + Г - Р = 2.

Ячейка для n=4, k=4

Для многогранника с такими параметрами грани должны быть квадратами ($n=4$), и в каждой вершине должно сходиться 4 ребра ($k=4$).
Внутренний угол квадрата равен $90^\circ$.
Сумма плоских углов при вершине такого многогранника была бы равна $k \cdot \alpha = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$.
Для существования выпуклого многогранного угла необходимо, чтобы сумма плоских углов при вершине была строго меньше $360^\circ$. Так как в данном случае сумма равна $360^\circ$, грани образуют плоское покрытие (мозаику), а не выпуклый многогранник.

Ответ: Такой правильный многогранник не существует.

Ячейка для n=4, k=5

Для многогранника с такими параметрами грани должны быть квадратами ($n=4$), и в каждой вершине должно сходиться 5 ребер ($k=5$).
Сумма плоских углов при вершине составила бы $k \cdot \alpha = 5 \cdot 90^\circ = 450^\circ$.
Это значение больше $360^\circ$, что невозможно для выпуклого многогранника.

Ответ: Такой правильный многогранник не существует.

Правильный додекаэдр (двенадцатигранник)

Это многогранник из третьей строки (грани - пятиугольники) и первого столбца ($k=3$).
Определим его параметры:
n (число сторон грани): грани - правильные пятиугольники, $n=5$.
k (число ребер в вершине): в каждой вершине сходятся 3 ребра, $k=3$.
В (число вершин): у додекаэдра 20 вершин, $В=20$.
Г (число граней): у додекаэдра 12 граней, $Г=12$.
Р (число ребер): у додекаэдра 30 ребер, $Р=30$.
Вычислим величину $В + Г - Р$:
$В + Г - Р = 20 + 12 - 30 = 2$.

Ответ: В ячейке (3,1) пропущены значения: n = 5, k = 3, В = 20, Р = 30, Г = 12, Название: Правильный додекаэдр (двенадцатигранник), В + Г - Р = 2.

Ячейка для n=5, k=4

Для многогранника с такими параметрами грани должны быть правильными пятиугольниками ($n=5$), и в каждой вершине должно сходиться 4 ребра ($k=4$).
Внутренний угол правильного пятиугольника равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
Сумма плоских углов при вершине составила бы $k \cdot \alpha = 4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$.
Это значение больше $360^\circ$, что невозможно для выпуклого многогранника.

Ответ: Такой правильный многогранник не существует.

Ячейка для n=5, k=5

Для многогранника с такими параметрами грани должны быть правильными пятиугольниками ($n=5$), и в каждой вершине должно сходиться 5 ребер ($k=5$).
Внутренний угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$.
Сумма плоских углов при вершине составила бы $k \cdot \alpha = 5 \cdot 108^\circ = 540^\circ$.
Это значение больше $360^\circ$, что невозможно для выпуклого многогранника.

Ответ: Такой правильный многогранник не существует.