Номер 93, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

93 Сколько центров, осей и плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

Ответ.

У правильной четырехугольной пирамиды нет ______ симметрии;

______ ось ______ (прямая ______ );

______ плоскости ______ симметрии ($KMH$, ______, $AMC$, ______ и ______ ).

Для того чтобы определить количество центров, осей и плоскостей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды, рассмотрим каждый из этих элементов симметрии по отдельности, используя в качестве примера пирамиду MABCD, изображенную на рисунке.

Центр симметрии — это точка, относительно которой любая точка фигуры имеет симметричную ей точку, также принадлежащую этой фигуре. У правильной четырехугольной пирамиды нет центра симметрии. Например, для вершины пирамиды M не существует симметричной ей точки внутри пирамиды. Если бы мы предположили, что центр симметрии существует (например, в точке O, центре основания), то симметричная вершине M точка M' находилась бы под основанием, то есть вне фигуры. Таким образом, у фигуры нет точки, которая могла бы служить центром симметрии.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 0 центров симметрии.

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол ($ \neq 360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной четырехугольной пирамиды есть только одна ось симметрии. Это прямая MO, которая проходит через вершину пирамиды M и центр ее квадратного основания O. При повороте вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ пирамида переходит сама в себя. Других осей симметрии, например, лежащих в плоскости основания, у пирамиды нет, так как при повороте вокруг них вершина M не перейдет в точку, принадлежащую пирамиде.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 1 ось симметрии (прямая MO).

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии. Все они проходят через ее ось симметрии MO.

• Две плоскости проходят через диагонали основания. Это плоскости, содержащие треугольники AMC и BMD. Каждая из них делит пирамиду на две равные части.
• Две другие плоскости проходят через апофемы (высоты боковых граней), проведенные к противоположным сторонам основания. На рисунке показаны точки K, H, T, P как середины сторон основания. Соответствующие плоскости симметрии — это плоскости MKH (проходит через середины сторон AD и BC) и MTP (проходит через середины сторон AB и CD).

Таким образом, всего существует 4 плоскости симметрии.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 4 плоскости симметрии (AMC, BMD, MKH, MTP).