Страница 70 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

93 Сколько центров, осей и плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

Ответ.

У правильной четырехугольной пирамиды нет ______ симметрии;

______ ось ______ (прямая ______ );

______ плоскости ______ симметрии ($KMH$, ______, $AMC$, ______ и ______ ).

Для того чтобы определить количество центров, осей и плоскостей симметрии у правильной четырехугольной пирамиды, рассмотрим каждый из этих элементов симметрии по отдельности, используя в качестве примера пирамиду MABCD, изображенную на рисунке.

Центр симметрии — это точка, относительно которой любая точка фигуры имеет симметричную ей точку, также принадлежащую этой фигуре. У правильной четырехугольной пирамиды нет центра симметрии. Например, для вершины пирамиды M не существует симметричной ей точки внутри пирамиды. Если бы мы предположили, что центр симметрии существует (например, в точке O, центре основания), то симметричная вершине M точка M' находилась бы под основанием, то есть вне фигуры. Таким образом, у фигуры нет точки, которая могла бы служить центром симметрии.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 0 центров симметрии.

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол ($ \neq 360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной четырехугольной пирамиды есть только одна ось симметрии. Это прямая MO, которая проходит через вершину пирамиды M и центр ее квадратного основания O. При повороте вокруг этой оси на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ пирамида переходит сама в себя. Других осей симметрии, например, лежащих в плоскости основания, у пирамиды нет, так как при повороте вокруг них вершина M не перейдет в точку, принадлежащую пирамиде.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 1 ось симметрии (прямая MO).

Плоскость симметрии — это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии. Все они проходят через ее ось симметрии MO.

• Две плоскости проходят через диагонали основания. Это плоскости, содержащие треугольники AMC и BMD. Каждая из них делит пирамиду на две равные части.
• Две другие плоскости проходят через апофемы (высоты боковых граней), проведенные к противоположным сторонам основания. На рисунке показаны точки K, H, T, P как середины сторон основания. Соответствующие плоскости симметрии — это плоскости MKH (проходит через середины сторон AD и BC) и MTP (проходит через середины сторон AB и CD).

Таким образом, всего существует 4 плоскости симметрии.

Ответ: у правильной четырехугольной пирамиды 4 плоскости симметрии (AMC, BMD, MKH, MTP).

94 Заполните пропуски в определении правильного многогранника:

Выпуклый __________ называется правильным, если __________ его грани __________ многоугольники, и в __________ его __________ сходится одно и то же число __________.

Для того чтобы правильно заполнить пропуски, необходимо вспомнить определение правильного многогранника. Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, который должен удовлетворять двум основным условиям:

1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине сходится одинаковое число ребер (и, как следствие, одинаковое число граней).

Исходя из этих условий, последовательно заполняем пропуски в предложении из задания.

Анализ и заполнение пропусков

Исходное предложение с пропусками:
Выпуклый __________ называется правильным, если __________ его грани — __________ многоугольники, и в __________ его __________ сходится одно и то же число __________.

• Первый пропуск: В определении речь идет о геометрическом теле, которое называется многогранником. Таким образом, в первый пропуск вставляем слово «многогранник».
• Второй и третий пропуски: Согласно первому условию, все грани многогранника должны быть одинаковыми правильными многоугольниками. Поэтому во второй пропуск вставляем слово «все», а в третий — словосочетание «равные правильные».
• Четвертый, пятый и шестой пропуски: Второе условие касается вершин многогранника. Условие одинаковости должно выполняться в каждой его вершине, где сходится одинаковое число ребер. Соответственно, вставляем слова «каждой», «вершине» и «ребер».

В результате получаем полное и корректное определение правильного многогранника:

«Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер».

Ответ: многогранник; все; равные правильные; каждой; вершине; ребер.

95 Докажите, что куб является правильным многогранником.

Доказательство.

Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного _______, указанными в определении.

1) Куб _______ выпуклым многогранником.

2) Каждая грань куба _______, т. е. _______ многоугольник, и все грани _______ между собой.

3) В _______ вершине куба сходится _______ число _______ ребер, а именно _______ ребра.

Итак, у куба _______ все признаки, указанные в определении _______ многогранника.

Следовательно, куб _______ правильным _______,

что и требовалось доказать.

Доказательство.

Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного многогранника, указанными в определении.

1) Куб является выпуклым многогранником.

2) Каждая грань куба — квадрат, т. е. правильный многоугольник, и все грани равны между собой.

3) В каждой вершине куба сходится одно и то же число ребер, а именно три ребра.

Итак, у куба имеются все признаки, указанные в определении правильного многогранника.

Следовательно, куб является правильным многогранником, что и требовалось доказать.

Ответ: Куб является правильным многогранником, так как удовлетворяет всем трём условиям определения: 1) он является выпуклым многогранником; 2) все его грани являются равными между собой правильными многоугольниками (квадратами); 3) в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер (по три ребра).