Страница 63 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

85 Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 м, а боковое ребро — 4 м. Найдите:

a) площадь боковой поверхности пирамиды;

б) высоту пирамиды;

в) площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту пирамиды;

г) площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру.

Решение.

a) Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной треугольной равна полу произведения периметра на апофему.

Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны друг другу, поэтому высота $MH$ треугольника BMC является и ее апофемой , т. е. $BH = \underline{3}$ (м).

В прямоугольном треугольнике $MHC$ $MH = \sqrt{MC^2 - \underline{HC^2}} = \sqrt{\underline{4^2} - 3^2} = \sqrt{\underline{16} - \underline{9}} = \sqrt{\underline{7}}$ (м). Поэтому $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \underline{3} \cdot BC \cdot \underline{MH} = \frac{1}{2} \cdot \underline{3} \cdot \underline{6} \cdot \underline{\sqrt{7}} = \underline{9\sqrt{7}}$ (м$^2$).

б) Высоту пирамиды

Проведем высоту $MO$ пирамиды. Так как пирамида правильная , то точка $О$ центр основания, и, следовательно, $OH = \underline{\hspace{0.5cm}}$ $AH = \frac{1}{3} BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \underline{6\sqrt{3}}$ (м).

В прямоугольном треугольнике $MOH$ $MO = \sqrt{MH^2 - \underline{OH^2}} = \sqrt{\underline{(\sqrt{7})^2} - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{\underline{7} - \underline{3}} = \sqrt{\underline{4}} = \underline{2}$ (м).

в) Площадь сечения, проходящего через боковое ребро и высоту пирамиды

Пусть плоскость сечения проходит через высоту ребро $MA$ и высоту пирамиды. Тогда она пересекает плоскость основания по прямой AH , а ребро $BC$ — в его середине — точке H. Следовательно, пересечением плоскости $AMH$ и грани $BMC$ служит отрезок MH. Поскольку $MO \perp ABC$, то $MO$ перпендикулярно $AH$ ( построением прямой, перпендикулярной к плоскости).

Итак, $S_{\text{AMH}} = \frac{1}{2} AH \cdot \underline{MO} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \underline{2} = \underline{3\sqrt{3}}$ (м$^2$).

г) Площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру

Пусть искомое сечение содержит ребро $AB$ и перпендикулярно к боковому ребру $MC$. Тогда прямая $MC$ перпендикулярна к линии пересечения секущей $ABT$ и грани $BMC$. Итак, проведем высоту $BT$ треугольника $BMC$ и соединим точки $T$ и $A$ отрезком (выполните построения). Так как $AC = BC$ и $\angle ACM = \angle BCM$ (пирамида правильная ), то $\triangle ACT = \triangle \underline{BCT}$ (по трем сторонам и углу между ними). Следовательно, $\angle ATC = \angle \underline{BTC} = 90^\circ$. Итак, $MC \perp BT$ и $MC \perp AT$, поэтому плоскость $ABT$ перпендикулярна к ребру $MC$, т. е. треугольник ABT — искомое сечение пирамиды. Из равенства $\triangle ACT = \underline{\triangle BCT}$ следует, что $AT = \underline{BT}$, а потому медиана $TK$ треугольника $ABT$ является и высотой , т. е. $TK \perp \underline{AB}$. Следовательно, $S_{\text{ACT}} = \frac{1}{2} \underline{AB} \cdot TK$.

В прямоугольном треугольнике $BKT$ $BK = \underline{3}$ $AB = \frac{1}{2} \cdot \underline{6} = \underline{3}$ (м), $KT = \sqrt{BT^2 - \underline{BK^2}}$. Найдем длину отрезка $BT$. Так как $S_{\text{BMC}} = \frac{1}{2} BC \cdot \underline{MH} = \frac{1}{2} MC \cdot \underline{BT}$, то $BC \cdot \underline{MH} = \underline{MC} \cdot BT$, откуда получаем $BT = \frac{BC \cdot MH}{\underline{MC}} = \frac{6 \cdot \sqrt{7}}{\underline{4}} = \frac{\underline{3\sqrt{7}}}{\underline{2}}$ (м).

Поэтому $KT = \sqrt{(\frac{3\sqrt{7}}{2})^2 - \underline{3^2}} = \sqrt{\underline{\frac{63}{4}} - \underline{9}} = \sqrt{\frac{\underline{63 - 36}}{4}} = \frac{\sqrt{\underline{27}}}{\underline{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{\underline{3}}$ (м).

Следовательно, $S_{\text{ABT}} = \underline{\frac{1}{2}} \cdot \underline{6} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \underline{\frac{9\sqrt{3}}{2}}$ (м$^2$).

О т в е т. а) $S_{\text{бок}} = \underline{9\sqrt{7}}$; б) $MO = \underline{2}$; в) $S_{\text{AMH}} = \underline{3\sqrt{3}}$; г) $S_{\text{ABT}} = \underline{\frac{9\sqrt{3}}{2}}$

Дана правильная треугольная пирамида. Обозначим ее M-ABC, где M - вершина, ABC - основание.

По условию:

• Сторона основания $a = AB = BC = AC = 6$ м.
• Боковое ребро $l = MA = MB = MC = 4$ м.

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников (боковых граней). Найдем площадь одной грани, например, MBC.

Проведем апофему MH — высоту грани MBC, опущенную на сторону BC. В равнобедренном треугольнике MBC высота MH является также медианой, поэтому H — середина стороны BC. Длина отрезка HC составляет:

$HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MHC. По теореме Пифагора найдем длину апофемы MH:

$MH = \sqrt{MC^2 - HC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ м.

Площадь одной боковой грани MBC равна:

$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$ м².

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{MBC} = 3 \cdot 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$ м².

Ответ: $9\sqrt{7}$ м².

Пусть MO — высота пирамиды, опущенная на основание ABC, где O — центр основания. В правильном треугольнике ABC центр O является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

Найдем длину высоты (и медианы) AH основания ABC, проведенной из вершины A к стороне BC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ ее высота равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$AH = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ м.

Точка O делит медиану AH в отношении 2:1, считая от вершины A. Длина отрезка AO (радиус описанной окружности) равна:

$AO = \frac{2}{3} AH = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO ($\angle MOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем высоту пирамиды MO:

$MO = \sqrt{MA^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ м.

Ответ: 2 м.

Сечение, проходящее через боковое ребро (например, MA) и высоту пирамиды (MO), является треугольником. Эта плоскость содержит прямую AH, так как точки A и O лежат на ней. Следовательно, искомое сечение — это треугольник AMH.

Основанием этого треугольника является высота (медиана) основания AH, а его высотой, опущенной на это основание, является высота пирамиды MO (поскольку $MO \perp$ плоскости ABC и, следовательно, $MO \perp AH$).

Площадь треугольника AMH равна:

$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MO$

Используя найденные ранее значения $AH = 3\sqrt{3}$ м и $MO = 2$ м, получаем:

$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 3\sqrt{3}$ м².

Ответ: $3\sqrt{3}$ м².

Пусть искомое сечение проходит через сторону основания AB и перпендикулярно противолежащему боковому ребру MC. Пусть T - точка пересечения секущей плоскости с ребром MC. Тогда сечением является треугольник ABT.

По условию, плоскость ABT перпендикулярна ребру MC. Это означает, что $MC \perp AT$ и $MC \perp BT$. Таким образом, отрезки AT и BT являются высотами боковых граней AMC и BMC, проведенными к общему ребру MC.

Поскольку пирамида правильная, боковые грани AMC и BMC являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, их высоты, проведенные к равным сторонам MC, также равны: $AT = BT$. Значит, треугольник ABT — равнобедренный с основанием AB.

Найдем длину высоты BT в треугольнике BMC. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через апофему MH: $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$ м².

2. Через высоту BT: $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BT = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot BT = 2 \cdot BT$.

Приравнивая оба выражения, находим BT:

$2 \cdot BT = 3\sqrt{7} \implies BT = \frac{3\sqrt{7}}{2}$ м.

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника ABT со сторонами $AB=6$, $AT = BT = \frac{3\sqrt{7}}{2}$. Проведем в нем высоту TK к основанию AB. K — середина AB, поэтому $AK = \frac{1}{2}AB = 3$ м.

Из прямоугольного треугольника ATK по теореме Пифагора найдем высоту TK:

$TK = \sqrt{AT^2 - AK^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2 - 3^2} = \sqrt{\frac{63}{4} - 9} = \sqrt{\frac{63 - 36}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ м.

Площадь сечения ABT равна:

$S_{ABT} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot TK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ м².

Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ м².