Страница 59 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

79 Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно 4 см (достройте рисунок). Найдите площади ее боковой и полной поверхностей.

Решение.

1) Любая правильная призма является ____ призмой, следовательно, площадь ее боковой поверхности равна ____ периметра ____ на ____ призмы,

т. е. $S_{бок} = P \cdot \text{____} $, где $P = \text{____} \cdot 6 = \text{____}$ (см), $h = \text{____}$ см.

Таким образом, $S_{бок} = \text{____} \cdot \text{____} = \text{____}$ (см$^2$).

2) Площадь полной ____ любой призмы равна ____ площадей ____ ее граней, т. е. $S_{полн} = \text{____} + 2 \text{____}$.

Основание данной призмы — ____ шестиугольник со стороной $a = 4$ см, следовательно, $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \text{____}$ (см$^2$).

Итак, $S_{полн} = (\text{____} + \text{____})$ см$^2$.

Ответ. $S_{бок} = \text{____}$, $S_{полн} = \text{____}$.

1) Условие гласит, что каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно 4 см. Это означает, что сторона основания $a = 4$ см, а боковое ребро, которое равно высоте призмы, $h = 4$ см. Площадь боковой поверхности правильной (и, следовательно, прямой) призмы вычисляется как произведение периметра основания $P$ на высоту призмы $h$. Периметр основания, которое является правильным шестиугольником, равен: $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4 = 24$ см. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 4 = 96$ (см²).

2) Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$. Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a=4$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим значение стороны: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}$ (см²). Теперь найдем площадь полной поверхности: $S_{полн} = 96 + 2 \cdot 24\sqrt{3} = 96 + 48\sqrt{3}$ (см²).

Ответ: $S_{бок} = 96$ см², $S_{полн} = 96 + 48\sqrt{3}$ см².

80 Основание пирамиды — прямоугольник $ABCD$, $AB = 18$ м, $BC = 10$ м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле $S_{полн} = $ __________ + ______. Так как основание пирамиды —

со сторонами 10 м и ______, то

$S_{осн} = $ ______ $\cdot$ ______ = ______ ($м^2$).

2) Чтобы найти площадь боковой

пирамиды, вычислим площади ее ______ граней.

В прямоугольнике $ABCD$ $AC$ ______ $BD$,

диагонали ______ в точке $O$,

поэтому $AO = BO = $ ______ $=$ ______. Отрезок $MO$ — высота пирамиды, значит,

$MO$ — ______ к плоскости основания, и отрезки $AO, BO$,

______, $DO$ — проекции наклонных $AM$,

______ и ______ на плоскость основания. Следовательно, $AM = BM = $ ______ $ =$ ______

$=$ ______ и $\triangle ABM = \triangle $ ______, а $\triangle BCM = $

$=$ ______ (по трем ______),

поэтому $S_{ABM}$ ____ $S_{CDM}$ и $S_{BCM}$ ____ $S_{ADM}$.

3) Пусть $MK \perp AB$, тогда $OK$ ____ $AB$ (обратная теорема о ____

перпендикулярах) и $OK = $ ______ $BC = 0,5 \cdot $ ______ $=$ ______ (м). Аналогично

если $MN \perp BC$, то $ON = $ ______ $AB = 0,5 \cdot $ ______ $=$ ______ (м).

Поскольку $MO \perp ABC$, то $MO$ ____ $OK$, а значит, $MK = \sqrt{MO^2 + $______}

$= \sqrt{______ + 5^2} = \sqrt{______} = $______ (м).

Аналогично $MN = \sqrt{______ + ON^2} = \sqrt{12^2 + $______} = $\sqrt{______} = $______ (м).

Итак, $S_{ABM} = 0,5AB \cdot $ ______ $=$ ______ $\cdot 18 \cdot $ ______ $=$ ______ ($м^2$), $S_{BCM} = $

______. Отсюда получаем:

$S_{бок} = 2(S_{ABM} + $______) $=$ ______ $\cdot$ (______ $+$ ______) $=$ ______ ($м^2$),

$S_{полн} = $ ______ $+$ ______ $=$ ______ ($м^2$).

О т в е т .

1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$. Так как основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 10 м и 18 м, то $S_{осн} = 10 \cdot 18 = 180$ (м²).
Ответ: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$; 18; $10 \cdot 18 = 180$.

2) Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, вычислим площади ее боковых граней.
В прямоугольнике ABCD $AC = BD$, диагонали равны и пересекаются в точке О, поэтому $AO = BO = CO = DO$. Отрезок $MO$ — высота пирамиды, значит, $MO$ перпендикулярен к плоскости основания, и отрезки $AO, BO, CO, DO$ — проекции наклонных $AM, BM, CM$ и $DM$ на плоскость основания. Следовательно, $AM = BM = CM = DM$ и $\Delta ABM = \Delta CDM$, а $\Delta BCM = \Delta ADM$ (по трем сторонам), поэтому $S_{ABM} = S_{CDM}$ и $S_{BCM} = S_{ADM}$.
Ответ: поверхности; боковых; =; равны и пересекаются; $CO = DO$; перпендикулярен; $CO$; $BM, CM, DM$; $CM = DM$; $CDM$; $ADM$; сторонам; =; =.

3) Пусть $MK \perp AB$, тогда $OK \perp AB$ (обратная теорема о трех перпендикулярах) и $OK = 0,5 \cdot BC = 0,5 \cdot 10 = 5$ (м). Аналогично если $MN \perp BC$, то $ON = 0,5 \cdot AB = 0,5 \cdot 18 = 9$ (м).
Поскольку $MO \perp ABC$, то $MO \perp OK$, а значит, $MK=\sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$ (м).
Аналогично $MN = \sqrt{MO^2 + ON^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15$ (м).
Итак, $S_{ABM} = 0,5AB \cdot MK = 0,5 \cdot 18 \cdot 13 = 117$ (м²), $S_{BCM} = 0,5BC \cdot MN = 0,5 \cdot 10 \cdot 15 = 75$ (м²). Отсюда получаем:
$S_{бок} = 2(S_{ABM} + S_{BCM}) = 2 \cdot (117 + 75) = 384$ (м²),
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 180 + 384 = 564$ (м²).
Ответ: $\perp$; трех; $0,5 \cdot 10 = 5$; $0,5 \cdot 18 = 9$; $\perp$; $OK^2$; $12^2$; $\sqrt{169} = 13$; $9^2$; $\sqrt{225} = 15$; $MK$; $0,5 \cdot 13 = 117$; $S_{BCM} = 0,5 \cdot 10 \cdot 15 = 75$; $S_{BCM}$; 2; 117 + 75; 384; $S_{осн} + S_{бок}$; $180 + 384 = 564$.