Номер 83, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

83 Все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Докажите, что:

a) высоты всех боковых граней, проведенные к сторонам основания пирамиды, равны между собой;

б) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание.

Доказательство.

a) Пусть отрезок $MO$ — высота пирамиды $MA_1A_2A_3 ... A_n$, $OH_1 \perp A_1A_2$, $OH_2 \perp A_2A_3$. Тогда $MH_1 \perp A_1A_2$, $MH_2 \perp A_2A_3$ (по теореме о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что углы $MH_1O$ и $MH_2O$ как линейные углы равных двугранных углов $MA_1A_2O$ и $MA_2A_3O$.

Так как $\triangle MH_1O = \triangle MH_2O$ (по катету и противолежащему углу), то $MH_1 = MH_2$. Аналогично можно доказать равенство высот всех боковых граней пирамиды, проведенных к сторонам основания пирамиды.

б) Так как $\triangle MH_1O = \triangle MH_2O$, то $OH_1 = OH_2$. Аналогично можно доказать, что равны расстояния от точки $O$ до всех сторон основания пирамиды. Следовательно, точка $O$ — центр вписанной окружности, что и требовалось доказать.

а) Пусть отрезок $MO$ — высота пирамиды $MA_1A_2A_3...A_n$, $OH_1 \perp A_1A_2$, $OH_2 \perp A_2A_3$. Тогда $MH_1 \perp A_1A_2$, $MH_2 \perp A_2A_3$ (по теореме о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что углы $MH_1O$ и $MH_2O$ равны как линейные углы двух равных двугранных углов $MA_1A_2O$ и $MA_2A_3O$. Так как $\triangle MH_1O$ = $\triangle MH_2O$ (по катету и противолежащему углу), то $MH_1$ = $MH_2$. Аналогично можно доказать равенство высот всех боковых граней пирамиды, проведенных к сторонам основания пирамиды.

Ответ: Доказано, что высоты всех боковых граней, проведенные к сторонам основания пирамиды, равны между собой.

б) Так как $\triangle MH_1O = \triangle$ $MH_2O$, то $OH_1$ = $OH_2$. Аналогично можно доказать, что равны расстояния от точки O до всех сторон основания пирамиды. Следовательно, точка O — центр окружности, вписанной в основание пирамиды, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание.