Номер 81, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

81 Все боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что:

а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;

б) все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания.

Доказательство.

а) Пусть основание пирамиды — многоугольник $A_1A_2...A_n$, отрезок $PO$ — высота пирамиды. Тогда отрезки $OA_1$, $OA_2$, ..., $OA_n$ — проекции боковых ребер $PA_1, PA_2$, ..., $PA_n$ на плоскость основания. Так как

$PA_1 = PA_2 = ... = PA_n$, то $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от вершин многоугольника $A_1A_2...A_n$, поэтому она является центром окружности, описанной около основания пирамиды.

б) $ \triangle A_1PO = \triangle A_2PO = \dots = \triangle A_nPO $ (по гипотенузе и катету), следовательно, $ \angle PA_1O = \angle PA_2O = \dots = \angle PA_nO$, что и требовалось доказать.

Пусть основание пирамиды — многоугольник $A_1A_2...A_n$, а отрезок $PO$ — ее высота. Тогда отрезки $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ являются проекциями боковых ребер $PA_1, PA_2, ..., PA_n$ на плоскость основания. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta A_1PO, \Delta A_2PO, ..., \Delta A_nPO$. Они являются прямоугольными, так как высота $PO$ перпендикулярна плоскости основания ($PO \perp$ пл. $A_1...A_n$), а значит и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$.

По условию задачи все боковые ребра равны, то есть $PA_1 = PA_2 = ... = PA_n$. Эти ребра служат гипотенузами для данных прямоугольных треугольников. Катет $PO$ у этих треугольников является общим. По теореме Пифагора для любого из этих треугольников ($i=1, 2, ..., n$): $OA_i^2 = PA_i^2 - PO^2$. Так как гипотенузы $PA_i$ равны и катет $PO$ общий, то равны и вторые катеты $OA_i$: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Следовательно, точка $O$ (основание высоты) равноудалена от всех вершин многоугольника $A_1A_2...A_n$. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром описанной около него окружности. Таким образом, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

Ответ: Утверждение а) доказано.

Углом между боковым ребром (наклонной) и плоскостью основания является угол между этим ребром и его проекцией на плоскость. Для ребра $PA_i$ это угол $\angle PA_iO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta A_1PO, \Delta A_2PO, ..., \Delta A_nPO$. Как было показано в пункте а), у них равны гипотенузы ($PA_1 = PA_2 = ... = PA_n$) и есть общий катет $PO$. Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету: $\Delta A_1PO = \Delta A_2PO = ... = \Delta A_nPO$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В нашем случае это означает, что $\angle PA_1O = \angle PA_2O = ... = \angle PA_nO$. Это и есть углы, которые боковые ребра составляют с плоскостью основания. Таким образом, все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение б) доказано.