Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

54 Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основанием которого является ромб $ABCD$, а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ $B_1D$ параллелепипеда перпендикулярна к диагонали $AC$ его основания.

Доказательство.

$BB_1 \perp ABC$

___________, диагональ $B_1D$ — наклонная к плоскости $ABC$, $BD$ — проекция___________, диагональ $AC$

лежит в плоскости $ABC$, $AC \perp BD$, так как___________.

Следовательно, согласно теореме___________,

$AC \perp ___________$

Доказательство.

По условию задачи дано, что боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, следовательно, $BB_1 \perp$ плоскости $ABC$. Из этого следует, что отрезок $BB_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B_1$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, диагональ $B_1D$ является наклонной к плоскости $ABC$, а диагональ основания $BD$ — ее проекцией на эту плоскость.

Диагональ $AC$ лежит в плоскости основания $ABC$. В основании параллелепипеда лежит ромб $ABCD$, а по свойству ромба его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Мы имеем прямую $AC$, лежащую в плоскости, которая перпендикулярна проекции $BD$ наклонной $B_1D$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Следовательно, $AC \perp B_1D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что диагональ $B_1D$ параллелепипеда перпендикулярна диагонали $AC$ его основания, доказано.

55 Сторона ромба ABCD равна 12 см, $\angle A = 30^\circ$, $AM \perp ABC$, $AM = 6$ см. Найдите расстояние от точки M до прямой CD.

Решение. Из вершины A ромба ABCD проведем отрезок $AH \perp DC$. Так как $\angle ADC = $ _______ — тупой, то основание H перпендикуляра AH лежит на продолжении луча _______. Таким образом, из точки M к плоскости ABC проведены перпендикуляр MA и наклонная MH, при этом прямая CD плоскости _______ перпендикулярна к проекции наклонной _______. Поэтому, согласно _______, $CD \perp$ _______. Итак, длина перпендикуляра MH и есть расстояние от точки _______ до прямой _______.$\triangle AHD$ _______, $\angle ADH = $ _______, $AD = $ _______, поэтому $AH = $ _______ см. $\triangle MAH$ _______, так как _______ и $AM = $ _______, $AH = $ _______ см, поэтому $MH = $ _______ см.

Ответ. _______ см.

Решение. Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямой $CD$ необходимо найти длину перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $CD$. Назовем его $MH$.

По условию, отрезок $AM$ перпендикулярен плоскости ромба $ABC$. Проведем в плоскости ромба из вершины $A$ перпендикуляр $AH$ к прямой $CD$. Тогда отрезок $AH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость $ABC$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая на плоскости ($CD$) перпендикулярна проекции наклонной ($AH$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($MH$). Так как мы построили $AH \perp CD$, то из теоремы следует, что $MH \perp CD$. Таким образом, длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние.

Для нахождения длины $MH$ выполним следующие шаги:

1. Найдем длину проекции $AH$.
В ромбе $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Поскольку угол $\angle ADC$ тупой, основание высоты $H$, опущенной из вершины $A$ на прямую $DC$, будет лежать на продолжении этой прямой за точкой $D$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$ (угол $\angle AHD = 90^\circ$). Угол $\angle ADH$ является смежным с углом ромба $\angle ADC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $\angle ADH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Гипотенуза $AD$ в этом треугольнике является стороной ромба, поэтому $AD = 12$ см. Катет $AH$ лежит напротив угла в $30^\circ$, а значит, он равен половине гипотенузы: $AH = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Найдем искомое расстояние $MH$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AMH$. Так как $AM$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а прямая $AH$ лежит в этой плоскости, то $AM \perp AH$. Это означает, что треугольник $\triangle AMH$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$. Нам известны длины его катетов: $AM = 6$ см (по условию) и $AH = 6$ см (как было найдено выше). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$: $MH^2 = AM^2 + AH^2$ $MH^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$ $MH = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.