Страница 42 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

49 Из точки M к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB, которые образуют со своими проекциями на эту плоскость $\angle MAO = 45^\circ$, $\angle MBO = 30^\circ$, угол между наклонными равен $90^\circ$.

Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна $\sqrt{3}$ см.

Решение.

$MO \perp \alpha$, поэтому

$MO \perp$ _______ и $MO \perp$ _______. $\triangle AMO$ прямоугольный и равнобедренный:

$\angle O =$ _______, $\angle A = \angle$ _______ = _______, $AO$ = _______, следовательно,

$MO$ = _______, $AM$ = _______. $\triangle BMO$ прямоугольный: $\angle O =$ _______,

$\angle B$ = _______, $MO$ = _______, поэтому $MB = 2$ _______ = _______ см.

$\triangle AMB$ прямоугольный: $\angle M$ = _______, $AM$ = _______, $BM$ = _______

= _______, поэтому $AB$ = _______ = _______ = _______ см.

Ответ.

_______ см.

Решение.

По условию, $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, значит, $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, $MO \perp OA$ и $MO \perp OB$. Это означает, что треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle BMO$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

1. Рассмотрим прямоугольный $\triangle AMO$. Угол между наклонной $MA$ и её проекцией $OA$ равен $\angle MAO = 45^\circ$. Так как $\triangle AMO$ прямоугольный, сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle AMO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AM$ равны ($\angle MAO = \angle AMO$), треугольник $\triangle AMO$ является равнобедренным, и его катеты равны: $MO = AO$. По условию, длина проекции $AO = \sqrt{3}$ см. Значит, $MO = \sqrt{3}$ см. Найдем длину наклонной $AM$ по теореме Пифагора: $AM^2 = MO^2 + AO^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$. $AM = \sqrt{6}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle BMO$. Угол между наклонной $MB$ и её проекцией $OB$ равен $\angle MBO = 30^\circ$. Мы уже нашли, что катет $MO = \sqrt{3}$ см. Найдем длину наклонной $MB$ (гипотенузы) через синус угла $\angle MBO$: $\sin(\angle MBO) = \frac{MO}{MB}$ $\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{MB}$ $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{MB}$ $MB = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Рассмотрим $\triangle AMB$. По условию, угол между наклонными $\angle AMB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle AMB$ — прямоугольный. Его катетами являются наклонные $AM$ и $MB$, а гипотенузой — отрезок $AB$, расстояние между основаниями наклонных. Применим теорему Пифагора для $\triangle AMB$: $AB^2 = AM^2 + MB^2 = (\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6 + (4 \cdot 3) = 6 + 12 = 18$. $AB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

50 Концы отрезка отстоят от плоскости $\alpha$ на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости $\alpha$ (задача 142 учебника).

Решение. Рассмотрим два случая:

1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$;

2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$.

1) Пусть отрезок $AB$ расположен по одну сторону от плоскости $\alpha$

1) Пусть отрезок $AB$ расположен по одну сторону от плоскости $\alpha$ (см. рис. а), $AA_1 \perp \alpha$, $AA_1 = 1$ см, $BB_1 \perp \alpha$, $BB_1 = 4$ см. Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, то $AA_1 \parallel \text{—}$, и поэтому четырехугольник $A_1ABB_1$ — —. Проведем в ней среднюю линию $PP_1$, тогда $PP_1 \parallel \text{—}$, и так как $AA_1 \perp \alpha$, то и $PP_1 \perp \text{—}$. Следовательно, длина отрезка $PP_1$ и есть искомое расстояние от середины отрезка $AB$ до плоскости $\alpha$, $PP_1 = \frac{1}{2} \text{_______} = \text{_______}$ см.

2) Пусть концы отрезка $AB$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$

2) Пусть концы отрезка $AB$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$ (см. рис. б) и пусть $AA_1$ и $BB_1$ — перпендикуляры к плоскости $\alpha$, $AA_1 = 1$ см, $BB_1 = 4$ см. Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, то $AA_1 \parallel \text{—}$, и прямые $AA_1$, $BB_1$, $A_1B_1$ лежат в одной —. Проведем через точку $P$ — середину отрезка $AB$ — прямую, параллельную $B_1B$. Тогда по — точки $P_1$ и $F$ пересечения этой прямой с прямыми $A_1B_1$ и $A_1B$ будут серединами отрезков — и —, а отрезки $P_1F$ и $PF$ — средними — . $P_1P = P_1F = \frac{1}{2} \text{_______} = \text{_______}$ см.

Ответ. — см или — см.

1) Пусть отрезок $AB$ расположен по одну сторону от плоскости $\alpha$ (см. рис. а), $AA_1 \perp \alpha$, $AA_1 = 1$ см, $BB_1 \perp \alpha$, $BB_1 = 4$ см. Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, то $AA_1 \parallel BB_1$, и поэтому четырехугольник $A_1ABB_1$ — трапеция. Проведем в ней среднюю линию $PP_1$, где $P$ — середина $AB$, а $P_1$ — ее проекция на плоскость $\alpha$. Тогда $PP_1$ будет параллельна основаниям трапеции $AA_1$ и $BB_1$. Так как $AA_1 \perp \alpha$, то и $PP_1 \perp \alpha$. Следовательно, длина отрезка $PP_1$ и есть искомое расстояние от середины отрезка $AB$ до плоскости $\alpha$. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований:$PP_1 = \frac{1}{2}(AA_1 + BB_1) = \frac{1+4}{2} = 2,5$ см.Ответ: 2,5 см.

2) Пусть концы отрезка $AB$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$ (см. рис. б) и пусть $AA_1$ и $BB_1$ — перпендикуляры к плоскости $\alpha$, $AA_1 = 1$ см, $BB_1 = 4$ см. Так как $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$, то $AA_1 \parallel BB_1$. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ задают плоскость, в которой также лежат точки $A_1$ и $B_1$. Проведем через точку $P$ — середину отрезка $AB$ — прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Пусть $P_1$ — точка ее пересечения с плоскостью $\alpha$, а $F$ — точка ее пересечения с прямой $A_1B$. Так как прямая $PP_1F$ параллельна $AA_1$ и $BB_1$, то по теореме Фалеса точка $F$ является серединой отрезка $A_1B$, а точка $P_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$. Таким образом, отрезок $PF$ является средней линией в треугольнике $A_1AB$, а отрезок $P_1F$ — средней линией в треугольнике $A_1BB_1$. Их длины равны:$PF = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$ см.$P_1F = \frac{1}{2}BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.Искомое расстояние $PP_1$ равно разности длин отрезков $P_1F$ и $PF$:$PP_1 = P_1F - PF = 2 - 0,5 = 1,5$ см.Ответ: 1,5 см.

Таким образом, в зависимости от расположения отрезка относительно плоскости, возможно два ответа.

Ответ: 2,5 см или 1,5 см.