Номер 62, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

62 Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника (задача 200 учебника).

Доказательство. Пусть прямая $a$ проходит через центр $O$ окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2...A_n$, и перпендикулярна к плоскости $\alpha$ этого многоугольника. Ясно, что точка $O$ равноудалена от вершин многоугольника, так как является центром описанной около него окружности: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$. Пусть $M$ — произвольная точка прямой $a$, отличная от точки $O$. Тогда

$MO$ — перпендикуляр, $MA_1$, $MA_2$, ..., $MA_n$ —

проведенные из точки — к —, а $OA_1$,

$OA_2$, ..., $OA_n$ — проекции наклонных на —. Так

как проекции равны, то равны и —. Т. е.

—. Таким образом, любая точка прямой $a$

равноудалена от —.

Доказательство

Пусть прямая $a$ проходит через центр $O$ окружности, описанной около многоугольника $A_1A_2...A_n$, и перпендикулярна к плоскости $\alpha$ этого многоугольника. Ясно, что точка $O$ равноудалена от вершин многоугольника, так как является центром описанной около него окружности: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Пусть $M$ — произвольная точка прямой $a$, отличная от точки $O$. Тогда $MO$ — перпендикуляр, $MA_1, MA_2, ..., MA_n$ — наклонные, проведенные из точки $M$ к плоскости $\alpha$, а $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ — проекции наклонных на плоскость $\alpha$. Так как проекции равны ($OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$), то равны и сами наклонные, т. е. $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$. Таким образом, любая точка прямой $a$ равноудалена от вершин этого многоугольника.

Это можно также показать с помощью теоремы Пифагора. Для любого $i$ от 1 до $n$, треугольник $\triangle MOA_i$ является прямоугольным, так как $MO \perp \alpha$ и $OA_i \subset \alpha$. Катет $MO$ является общим для всех таких треугольников, а катеты $OA_i$ равны как радиусы описанной окружности. Следовательно, гипотенузы $MA_i$ также равны:

$MA_i = \sqrt{MO^2 + OA_i^2}$

Поскольку $MO$ и $OA_i$ (как радиус) имеют постоянную длину для всех $i$, то и $MA_i$ равны между собой. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, представленное в задаче, доказано. Любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к его плоскости, действительно равноудалена от вершин этого многоугольника.