Номер 53, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

53 Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник $CBD$ прямоугольный (задача 145 а учебника).

Доказательство. Из точки $D$ к плоскости $ABC$ проведены перпендикуляр _______ и наклонная _______. Прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна к проекции _______ наклонной _______ на эту плоскость, поэтому, согласно _______. $BC \perp DC$, т. е. треугольник $CBD$ _______

Доказательство.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Сначала определим все необходимые элементы в нашей пространственной конфигурации.

По условию, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что:

• $AD$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$.
• Точка $A$ — основание этого перпендикуляра.
• $DC$ — это наклонная, проведенная из точки $D$ к плоскости $(ABC)$ (так как $C$ не совпадает с $A$).
• $AC$ — это проекция наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$, так как она соединяет основание перпендикуляра ($A$) и основание наклонной ($C$).

Также по условию, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Из этого следует, что катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах, которая гласит: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае:

• Прямая, лежащая в плоскости — это $BC$.
• Наклонная — это $DC$.
• Ее проекция на плоскость — это $AC$.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна проекции $AC$ ($BC \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах она будет перпендикулярна и самой наклонной $DC$. Таким образом, мы доказали, что $BC \perp DC$.

Так как $BC \perp DC$, угол $\angle BCD$ является прямым. Следовательно, треугольник $CBD$ является прямоугольным по определению.

Заполняя пропуски в тексте из задания, получаем следующее утверждение:

Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр AD и наклонная DC. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции AC наклонной DC на эту плоскость, поэтому, согласно теореме о трех перпендикулярах, $BC \perp DC$, т. е. треугольник CBD прямоугольный.

Ответ: Треугольник $CBD$ является прямоугольным, что и требовалось доказать.