Номер 51, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

51 Докажите, что концы данного отрезка находятся на одинаковом расстоянии от любой плоскости, проходящей через его середину.

Доказательство.

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через середину $M$ отрезка $AB, AA_1 \perp \alpha, BB_1 \perp \alpha$. Тогда $AM = MB, \angle AMA_1 = \angle BMB_1$ и ________

Доказательство.

Пусть дан отрезок $AB$ с серединой в точке $M$. Пусть $\alpha$ — произвольная плоскость, проходящая через точку $M$. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$. Обозначим их основания как $A_1$ и $B_1$ соответственно. Таким образом, по построению, $AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$. Длины отрезков $AA_1$ и $BB_1$ являются расстояниями от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$. Нам необходимо доказать, что $AA_1 = BB_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$.

Поскольку $AA_1$ и $BB_1$ — перпендикуляры к плоскости $\alpha$, то они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через их основания. В частности, $\angle AA_1M = 90^\circ$ и $\angle BB_1M = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$ являются прямоугольными.

Сравним эти прямоугольные треугольники:

1. $AM = MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$ по условию. Эти стороны являются гипотенузами в рассматриваемых треугольниках.

2. $\angle AMA_1 = \angle BMB_1$, так как эти углы являются вертикальными. (Они образованы пересечением прямой $AB$ и прямой $A_1B_1$, которая является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью, проходящей через параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AA_1 = BB_1$.

Это доказывает, что расстояния от концов отрезка $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от концов отрезка до плоскости, проходящей через его середину, равны, так как перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$, определяющие эти расстояния, являются соответственно равными катетами в равных прямоугольных треугольниках $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$.