Страница 185 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Опишите, что называют многогранным углом.

2. Назовите элементы многогранного угла.

3. Какой многогранный угол называют выпуклым?

4. Перечислите свойства трёхгранного угла.

5. Запишите равенство, выражающее теорему косинусов для трёхгранного угла.

1. Опишите, что называют многогранным углом.

Многогранный угол — это геометрическая фигура, представляющая собой часть пространства, ограниченную несколькими плоскими углами (гранями) с общей вершиной. Эти плоские углы расположены так, что каждый из них имеет две общие стороны (рёбра) с соседними углами. Простейшим примером является трёхгранный угол.

Ответ: Многогранным углом называется фигура, образованная всеми лучами, выходящими из одной точки (вершины) и пересекающими некоторый плоский многоугольник.

2. Назовите элементы многогранного угла.

Основными элементами многогранного угла являются:

• Вершина — общая точка, из которой выходят все рёбра.
• Рёбра — лучи, выходящие из вершины и являющиеся сторонами плоских углов.
• Грани — плоские углы, образованные парами соседних рёбер.
• Плоские углы — величины (меры) углов, образующих грани.
• Двугранные углы — углы между плоскостями соседних граней.

Ответ: Элементы многогранного угла: вершина, рёбра, грани, плоские углы и двугранные углы.

3. Какой многогранный угол называют выпуклым?

Многогранный угол называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Это означает, что если мысленно продлить любую грань до бесконечной плоскости, то весь многогранный угол окажется в одном из двух полупространств, на которые эта плоскость делит пространство.

Ответ: Выпуклым называют многогранный угол, который расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

4. Перечислите свойства трёхгранного угла.

Трёхгранный угол — это многогранный угол, имеющий три грани. Его основные свойства (для выпуклого трёхгранного угла):

1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов (неравенство треугольника для плоских углов). Если $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — его плоские углы, то выполняются неравенства: $\alpha < \beta + \gamma$, $\beta < \alpha + \gamma$, $\gamma < \alpha + \beta$.
2. Сумма всех плоских углов выпуклого трёхгранного угла всегда меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан): $\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$.
3. Сумма всех двугранных углов трёхгранного угла больше $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) и меньше $540^\circ$ (или $3\pi$ радиан).
4. В трёхгранном угле против большего плоского угла лежит больший двугранный угол, и наоборот, против большего двугранного угла лежит больший плоский угол.

Ответ: Свойства трёхгранного угла: 1) каждый плоский угол меньше суммы двух других; 2) сумма плоских углов меньше $360^\circ$; 3) сумма двугранных углов больше $180^\circ$ и меньше $540^\circ$; 4) против большего плоского угла лежит больший двугранный угол, и наоборот.

5. Запишите равенство, выражающее теорему косинусов для трёхгранного угла.

Теорема косинусов для трёхгранного угла (также известная как первая теорема косинусов для сферического треугольника) связывает три плоских угла и один из двугранных углов. Пусть $\alpha$, $\beta$ — плоские углы двух граней трёхгранного угла, а $C$ — двугранный угол между этими гранями. Пусть $\gamma$ — плоский угол третьей грани. Тогда справедливо следующее равенство:

$\cos \gamma = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos C$

Это равенство позволяет, например, найти величину третьего плоского угла, зная два других плоских угла и двугранный угол между ними.

Ответ: $\cos \gamma = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos C$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — плоские углы, а $C$ — двугранный угол между гранями с углами $\alpha$ и $\beta$.