Страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы можно было утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?

3. Что является геометрическим местом точек, удалённых от данной плоскости на заданное расстояние?

4. Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой?

5. Что является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?

6. Что называют биссектором двугранного угла?

7. Что является геометрическим местом точек, принадлежащих двугранному углу и равноудалённых от его граней?

1. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, которые обладают некоторым заданным свойством. Ответ: Множество всех точек, обладающих определённым свойством.

2. Чтобы утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы:
1) Прямая теорема: Каждая точка, принадлежащая данному множеству, обладает заданным свойством.
2) Обратная теорема: Каждая точка, обладающая заданным свойством, принадлежит данному множеству.
Ответ: Прямую и обратную теоремы о принадлежности точек множеству и обладании свойством.

3. Геометрическим местом точек, удалённых от данной плоскости на заданное расстояние $d$, являются две плоскости, параллельные данной и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии $d$. Ответ: Две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся на заданном расстоянии от неё.

4. Геометрическим местом точек, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной прямой, является прямая, перпендикулярная плоскости, в которой лежат эти три точки, и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в этих точках. Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости этих трёх точек и проходящая через центр описанной около них окружности.

5. Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является плоскость, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Такую плоскость также называют серединным перпендикуляром к отрезку. Ответ: Плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

6. Биссектором (или биссекторной плоскостью) двугранного угла называют полуплоскость с границей на ребре двугранного угла, которая делит этот угол на два равных двугранных угла. Ответ: Полуплоскость, которая исходит из ребра двугранного угла и делит его на два равных двугранных угла.

7. Геометрическим местом точек, принадлежащих двугранному углу и равноудалённых от его граней, является биссекторная плоскость (биссектор) этого двугранного угла. Ответ: Биссекторная плоскость этого двугранного угла.

18.1. На данной прямой $l$ найдите точки, равноудалённые от данных точек $A$ и $B$.

Пусть искомая точка, лежащая на прямой $l$, обозначается как $X$. По условию задачи, эта точка должна быть равноудалена от данных точек $A$ и $B$. Это означает, что расстояние от $X$ до $A$ равно расстоянию от $X$ до $B$, то есть $XA = XB$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m$.

Таким образом, искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать двум множествам:
1. Прямой $l$, согласно условию задачи.
2. Серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $AB$, так как $X$ равноудалена от $A$ и $B$.

Следовательно, чтобы найти искомую точку (или точки), необходимо найти точки пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$. Количество решений задачи зависит от взаимного расположения этих двух прямых.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Прямая $l$ пересекает серединный перпендикуляр $m$
Если прямые $l$ и $m$ не параллельны, они пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка пересечения и будет искомой точкой, так как она одновременно лежит на прямой $l$ и равноудалена от точек $A$ и $B$. Это наиболее общий случай.
Ответ: Существует ровно одна такая точка — это точка пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

2. Прямая $l$ параллельна серединному перпендикуляру $m$ и не совпадает с ним
Если прямые $l$ и $m$ параллельны, но не являются одной и той же прямой, они не имеют общих точек. Это означает, что на прямой $l$ не существует точек, равноудалённых от $A$ и $B$. Такая ситуация возникает, когда прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AB$, но не проходит через его середину.
Ответ: В этом случае искомых точек не существует.

3. Прямая $l$ совпадает с серединным перпендикуляром $m$
Если данная прямая $l$ и есть серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$, то любая точка, лежащая на прямой $l$, по определению серединного перпендикуляра равноудалена от точек $A$ и $B$.
Ответ: В этом случае любая точка прямой $l$ является решением, то есть существует бесконечное множество искомых точек.

18.2. Найдите ГМТ вершины X равнобедренных треугольников $AXB$, имеющих общее основание $AB$.

Пусть даны две различные точки A и B. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ) X, таких что треугольник $AXB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По определению равнобедренного треугольника, если $AB$ является его основанием, то боковые стороны, выходящие из вершины X, должны быть равны. То есть, длина стороны $AX$ должна быть равна длине стороны $BX$.

Таким образом, условие, которому должна удовлетворять любая точка X из искомого ГМТ, можно записать в виде равенства:
$AX = BX$

Это равенство означает, что точка X равноудалена от точек A и B.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае A и B), представляет собой прямую, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки ($AB$), и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Важно учесть, что точки A, X и B должны образовывать треугольник. Это означает, что они не могут лежать на одной прямой. Если точка X принадлежит прямой $AB$, то треугольник $AXB$ вырождается в отрезок. Единственная точка, которая одновременно принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$ и прямой $AB$, — это середина отрезка $AB$. Если X совпадает с серединой отрезка $AB$, то точки A, X, B оказываются на одной прямой.

Следовательно, эту точку необходимо исключить из искомого ГМТ.

Таким образом, ГМТ вершин X — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ за вычетом одной точки — середины отрезка $AB$.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ без точки, являющейся серединой этого отрезка.

18.3. На данной плоскости $\alpha$ найдите точки, равноудалённые от данных точек $A$ и $B$.

Для нахождения всех точек на плоскости $α$, равноудалённых от данных точек $A$ и $B$, необходимо рассмотреть геометрическое место точек (ГМТ) в пространстве, удовлетворяющих этому условию. ГМТ точек пространства, равноудалённых от двух данных точек $A$ и $B$, есть плоскость $β$, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через его середину. Искомое множество точек является пересечением данной плоскости $α$ и плоскости $β$. В зависимости от взаимного расположения точек $A$, $B$ и плоскости $α$ возможны три различных решения.

Случай 1: Искомое множество точек — вся плоскость α

Это происходит в двух ситуациях:
1. Точки $A$ и $B$ совпадают ($A = B$). В этом случае любая точка плоскости $α$ равноудалена от $A$ и $B$, так как расстояние в обоих случаях равно нулю.
2. Точки $A$ и $B$ различны, но прямая, проходящая через них, перпендикулярна плоскости $α$, а сама плоскость $α$ проходит через середину отрезка $AB$. В этом случае плоскость $α$ и является плоскостью $β$ (серединным перпендикуляром к отрезку $AB$).
Ответ: Вся плоскость $α$.

Случай 2: Искомое множество точек — прямая

Этот случай реализуется, когда точки $A$ и $B$ различны, и прямая $AB$ не перпендикулярна плоскости $α$. При этом условии плоскость $β$ (серединный перпендикуляр к $AB$) не будет параллельна плоскости $α$, и их пересечением будет прямая. Это справедливо для любого расположения точек $A$ и $B$, не удовлетворяющего условиям случаев 1 и 3, в частности:
• Обе точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $α$.
• Прямая $AB$ параллельна плоскости $α$.
• Прямая $AB$ пересекает плоскость $α$ под углом, отличным от $90^{\circ}$.
Ответ: Прямая, являющаяся пересечением плоскости $α$ и плоскости-серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Случай 3: Искомых точек не существует

Такая ситуация возникает, когда точки $A$ и $B$ различны, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $α$, но середина отрезка $AB$ не лежит в этой плоскости. В этом случае плоскость $β$ (серединный перпендикуляр к $AB$) параллельна плоскости $α$, но не совпадает с ней. Поскольку параллельные несовпадающие плоскости не пересекаются, в плоскости $α$ нет точек, равноудалённых от $A$ и $B$.
Ответ: Пустое множество (таких точек нет).

18.4. На данной прямой $l$ найдите точки, принадлежащие данному дву-гранному углу и равноудалённые от его граней.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями (гранями) $\alpha$ и $\beta$.

Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней $\alpha$ и $\beta$, состоит из двух биссекторных плоскостей. Из этих двух плоскостей только одна проходит внутри данного двугранного угла. Эта плоскость и является геометрическим местом точек, которые принадлежат данному двугранному углу и равноудалены от его граней. Обозначим эту биссекторную плоскость $\gamma$.

Согласно условию задачи, искомые точки должны также лежать на данной прямой $l$. Следовательно, искомые точки являются общими точками прямой $l$ и биссекторной плоскости $\gamma$. Для их нахождения нужно найти пересечение прямой $l$ и плоскости $\gamma$.

В зависимости от взаимного расположения прямой $l$ и плоскости $\gamma$ возможны следующие случаи:

• Если прямая $l$ пересекает плоскость $\gamma$ в одной точке, то эта точка и является единственным решением.
• Если прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\gamma$, то решением является вся прямая $l$.
• Если прямая $l$ параллельна плоскости $\gamma$ и не лежит в ней, то общих точек у них нет, а значит, решений не существует.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной прямой $l$ с биссекторной плоскостью данного двугранного угла. В зависимости от взаимного расположения прямой и плоскости, решением может быть одна точка, вся прямая $l$ или пустое множество (решений нет).

18.5. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$. Эти прямые делят плоскость на четыре угла.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному свойству. В данном случае свойство точки $M$ заключается в том, что расстояние от нее до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим произвольную точку $M$, равноудаленную от прямых $a$ и $b$. Пусть $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $a$ ($A \in a$), а $MB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $b$ ($B \in b$). По условию, длина отрезка $MA$ равна длине отрезка $MB$, то есть $MA = MB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ (углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ прямые, так как $MA$ и $MB$ — перпендикуляры). В этих треугольниках:

• Гипотенуза $OM$ — общая.
• Катет $MA$ равен катету $MB$ по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла, образованного лучами, на которых лежат точки $A$ и $B$. Таким образом, любая точка $M$, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть точка $M$ лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$. В этих треугольниках:

• Гипотенуза $OM$ — общая.
• $\angle AOM = \angle BOM$, так как $OM$ — биссектриса.

Следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что $MA = MB$.

Таким образом, мы доказали, что геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса этого угла.

Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. ГМТ для каждой пары вертикальных углов будет состоять из биссектрис этих углов, которые вместе образуют одну прямую, проходящую через точку пересечения $O$.

Следовательно, искомое ГМТ состоит из двух прямых — биссектрис двух пар вертикальных углов. Эти две прямые-биссектрисы проходят через точку пересечения исходных прямых и являются взаимно перпендикулярными, так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

18.6. Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линией их пересечения является прямая $l$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от этих плоскостей.

Обозначим расстояние от произвольной точки $M$ до плоскости $\alpha$ как $d(M, \alpha)$, а до плоскости $\beta$ — как $d(M, \beta)$. Искомое ГМТ — это множество всех точек $M$, для которых выполняется условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, удовлетворяющую этому условию. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на плоскость $\alpha$ и $MB$ на плоскость $\beta$. По определению расстояния, длина отрезка $MA$ равна $d(M, \alpha)$, а длина отрезка $MB$ равна $d(M, \beta)$. Таким образом, по условию $MA = MB$.

Проведём через произвольную точку $O$ на прямой $l$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$. Плоскость $\gamma$ пересечёт плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $a$ и $b$ соответственно, которые также проходят через точку $O$. Угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом одного из двугранных углов, образованных плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Любая точка $M$, равноудалённая от плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и лежащая в плоскости $\gamma$, будет равноудалена от прямых $a$ и $b$. Это следует из того, что перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$, будут лежать в плоскости $\gamma$ и будут перпендикулярны прямым $a$ и $b$ соответственно. Таким образом, трёхмерная задача сводится к двумерной задаче в плоскости $\gamma$: найти ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Из планиметрии известно, что геометрическим местом точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, является пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных исходными прямыми.

Так как точка $O$ на прямой $l$ и, соответственно, плоскость $\gamma$ были выбраны произвольно, то искомое ГМТ в пространстве является объединением таких пар биссектрис для всех возможных положений точки $O$ на прямой $l$. Это объединение образует две плоскости.

Эти две плоскости проходят через общую прямую $l$ и делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Такие плоскости называются биссекторными плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных вертикальных двугранных углов. Два смежных двугранных угла в сумме составляют $180^\circ$. Биссекторные плоскости этих смежных углов будут взаимно перпендикулярны. Если один двугранный угол равен $2\theta$, то смежный с ним равен $180^\circ - 2\theta$. Биссекторные плоскости делят эти углы пополам, и угол между ними будет равен $\theta + \frac{180^\circ - 2\theta}{2} = \theta + 90^\circ - \theta = 90^\circ$.

Таким образом, искомое ГМТ — это пара взаимно перпендикулярных плоскостей, являющихся биссектрисами двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, является пара взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через линию пересечения данных плоскостей и делящих пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями.

18.7. Найдите ГМТ середин всех отрезков, концы которых принадлежат двум данным параллельным плоскостям.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Введем декартову систему координат так, чтобы эти плоскости были параллельны плоскости $Oxy$. Тогда их уравнения можно записать в виде:

Плоскость $\alpha: z = a$

Плоскость $\beta: z = b$

где $a$ и $b$ — некоторые константы, причем $a \neq b$.

Возьмем произвольную точку $A$ на плоскости $\alpha$ и произвольную точку $B$ на плоскости $\beta$. Их координаты будут:

$A(x_1, y_1, a)$

$B(x_2, y_2, b)$

Пусть точка $M(x, y, z)$ — середина отрезка $AB$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z = \frac{a + b}{2}$

Из этих формул видно, что аппликата (координата $z$) любой точки $M$ является постоянной величиной, равной $\frac{a + b}{2}$. Это означает, что все такие точки $M$ лежат в плоскости, уравнение которой $z = \frac{a + b}{2}$.

Эта плоскость, назовем ее $\gamma$, параллельна исходным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, так как ее нормальный вектор $(0, 0, 1)$ коллинеарен их нормальным векторам. Расстояние от плоскости $\gamma$ до плоскости $\alpha$ равно $|\frac{a + b}{2} - a| = |\frac{b - a}{2}|$. Расстояние от плоскости $\gamma$ до плоскости $\beta$ равно $|\frac{a + b}{2} - b| = |\frac{a - b}{2}|$. Так как $|b-a| = |a-b|$, плоскость $\gamma$ равноудалена от плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть находится ровно посередине между ними.

Теперь покажем, что любая точка плоскости $\gamma$ принадлежит искомому ГМТ. Возьмем произвольную точку $M_0(x_0, y_0, \frac{a+b}{2})$ в этой плоскости. Нам нужно доказать, что существуют такие точки $A$ в $\alpha$ и $B$ в $\beta$, что $M_0$ является серединой отрезка $AB$. Например, выберем точку $A(2x_0, 2y_0, a)$. Эта точка лежит в плоскости $\alpha$. Найдем координаты точки $B(x_2, y_2, b)$ из условия, что $M_0$ — середина $AB$:

$x_0 = \frac{2x_0 + x_2}{2} \implies 2x_0 = 2x_0 + x_2 \implies x_2 = 0$

$y_0 = \frac{2y_0 + y_2}{2} \implies 2y_0 = 2y_0 + y_2 \implies y_2 = 0$

Таким образом, мы нашли точку $B(0, 0, b)$, которая лежит в плоскости $\beta$. Серединой отрезка с концами $A(2x_0, 2y_0, a)$ и $B(0, 0, b)$ является точка $M_0(x_0, y_0, \frac{a+b}{2})$.

Поскольку для любой точки плоскости $z = \frac{a + b}{2}$ мы можем найти отрезок, для которого она является серединой, то искомое геометрическое место точек — это вся плоскость.

Ответ: Плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.

18.8. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Найдите ГМТ середин всех отрезков $MX$, концы $X$ которых принадлежат плоскости $\alpha$.

Пусть $P$ — середина отрезка $MX$, где точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$, а $X$ — произвольная точка, принадлежащая плоскости $\alpha$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ) $P$.

Рассмотрим преобразование пространства, которое каждой точке $X$ ставит в соответствие точку $P$. По определению середины отрезка, вектор $\vec{MP}$ связан с вектором $\vec{MX}$ соотношением:

$\vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{MX}$

Это соотношение определяет гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Искомое ГМТ — это образ плоскости $\alpha$ при этой гомотетии. Поскольку гомотетия является преобразованием подобия, образом плоскости является плоскость. Так как центр гомотетии (точка $M$) не принадлежит исходной плоскости $\alpha$, то её образ — плоскость $\beta$ — будет параллельна плоскости $\alpha$.

Чтобы найти точное положение плоскости $\beta$, опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$ (где $H$ — основание перпендикуляра). Точка $H$ принадлежит плоскости $\alpha$. При гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ точка $H$ перейдет в точку $P_H$, которая является серединой отрезка $MH$. Эта точка $P_H$ по определению принадлежит искомому ГМТ, то есть плоскости $\beta$.

Плоскость $\beta$ проходит через точку $P_H$ и параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от плоскости $\beta$ до плоскости $\alpha$ равно длине отрезка $P_H H$, что составляет половину расстояния от точки $M$ до плоскости $\alpha$: $|P_H H| = \frac{1}{2}|MH|$. Таким образом, искомая плоскость находится ровно посередине между точкой $M$ и плоскостью $\alpha$.

Ответ: Искомое ГМТ — это плоскость, параллельная плоскости $\alpha$ и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$.

18.9. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\pi$. Найдите геометрическое место точек $X$ плоскости $\pi$ таких, что прямые $MX$ образуют с плоскостью $\pi$ углы, равные данному углу $\alpha$.

Пусть $O$ — это ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $π$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $π$ равно длине перпендикуляра $MO$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $MO = h$. По условию, точка $M$ не принадлежит плоскости $π$, следовательно, $h > 0$.

Для любой точки $X$, принадлежащей плоскости $π$, отрезок $MX$ является наклонной к плоскости $π$, а отрезок $OX$ — её проекцией на эту плоскость. Угол между прямой $MX$ и плоскостью $π$ по определению есть угол между наклонной $MX$ и её проекцией $OX$, то есть угол $\angle MXO$. По условию задачи, $\angle MXO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOX$. Поскольку $MO$ — перпендикуляр к плоскости $π$, а прямая $OX$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $O$, то $MO \perp OX$. Таким образом, $\triangle MOX$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

В этом прямоугольном треугольнике отношение катетов и угла $\alpha$ выражается через тангенс: $ \tan(\alpha) = \frac{MO}{OX} = \frac{h}{OX} $

Отсюда можем выразить расстояние $OX$: $ OX = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cdot \cot(\alpha) $

Точка $O$ — это фиксированная точка в плоскости $π$ (как проекция фиксированной точки $M$). Расстояние $h$ и угол $\alpha$ — постоянные величины. Следовательно, расстояние $OX$ от фиксированной точки $O$ до любой искомой точки $X$ также является постоянной величиной. Множество всех точек $X$ в плоскости $π$, которые находятся на постоянном расстоянии от фиксированной точки $O$ в той же плоскости, является окружностью с центром в точке $O$.

Проанализируем результат в зависимости от значения угла $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$:
1. Если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $OX = h \cdot \cot(\alpha)$ — положительное конечное число. В этом случае искомое геометрическое место точек — это окружность в плоскости $π$ с центром в точке $O$ (проекции точки $M$ на плоскость $π$) и радиусом $r = h \cdot \cot(\alpha)$.
2. Если $\alpha = 90^\circ$, то $\cot(90^\circ) = 0$, следовательно, $OX = 0$. Это означает, что точка $X$ совпадает с точкой $O$. Геометрическое место точек вырождается в одну точку — проекцию точки $M$ на плоскость $π$.
3. Если $\alpha = 0^\circ$, то $\tan(0^\circ) = 0$. Уравнение $0 = h/OX$ не имеет решений, так как $h > 0$. В этом случае искомое геометрическое место точек — пустое множество.

Ответ: Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $π$, а $h = MO$ — расстояние от точки $M$ до плоскости $π$. Искомое геометрическое место точек зависит от данного угла $\alpha$:
• при $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ — это окружность, лежащая в плоскости $π$, с центром в точке $O$ и радиусом $r = h \cdot \cot(\alpha)$;
• при $\alpha = 90^\circ$ — это единственная точка $O$;
• при $\alpha = 0^\circ$ — это пустое множество (таких точек не существует).