Номер 18.8, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.8. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Найдите ГМТ середин всех отрезков $MX$, концы $X$ которых принадлежат плоскости $\alpha$.

Пусть $P$ — середина отрезка $MX$, где точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$, а $X$ — произвольная точка, принадлежащая плоскости $\alpha$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ) $P$.

Рассмотрим преобразование пространства, которое каждой точке $X$ ставит в соответствие точку $P$. По определению середины отрезка, вектор $\vec{MP}$ связан с вектором $\vec{MX}$ соотношением:

$\vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{MX}$

Это соотношение определяет гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Искомое ГМТ — это образ плоскости $\alpha$ при этой гомотетии. Поскольку гомотетия является преобразованием подобия, образом плоскости является плоскость. Так как центр гомотетии (точка $M$) не принадлежит исходной плоскости $\alpha$, то её образ — плоскость $\beta$ — будет параллельна плоскости $\alpha$.

Чтобы найти точное положение плоскости $\beta$, опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$ (где $H$ — основание перпендикуляра). Точка $H$ принадлежит плоскости $\alpha$. При гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ точка $H$ перейдет в точку $P_H$, которая является серединой отрезка $MH$. Эта точка $P_H$ по определению принадлежит искомому ГМТ, то есть плоскости $\beta$.

Плоскость $\beta$ проходит через точку $P_H$ и параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от плоскости $\beta$ до плоскости $\alpha$ равно длине отрезка $P_H H$, что составляет половину расстояния от точки $M$ до плоскости $\alpha$: $|P_H H| = \frac{1}{2}|MH|$. Таким образом, искомая плоскость находится ровно посередине между точкой $M$ и плоскостью $\alpha$.

Ответ: Искомое ГМТ — это плоскость, параллельная плоскости $\alpha$ и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$.