Номер 18.10, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.10. Найдите ГМТ, расстояния от которых до двух данных параллельных плоскостей относятся, как 2 : 1.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Обозначим расстояние между ними через $h$. Для удобства введем декартову систему координат так, чтобы плоскость $\alpha$ совпадала с плоскостью $Oxy$ и имела уравнение $z=0$, а плоскость $\beta$ имела уравнение $z=h$.

Пусть точка $M(x, y, z)$ принадлежит искомому геометрическому месту точек (ГМТ). Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ (обозначим его $d_1$) вычисляется как $d_1 = |z|$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ (обозначим его $d_2$) вычисляется как $d_2 = |z-h|$.

Согласно условию задачи, отношение этих расстояний равно $2:1$, то есть $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{1}$, или $d_1 = 2d_2$.

Подставим выражения для расстояний в это равенство:

$|z| = 2|z-h|$

Данное уравнение с модулями равносильно совокупности двух уравнений:

1) $z = 2(z-h)$

2) $z = -2(z-h)$

Решим каждое из этих уравнений:

1) $z = 2z - 2h$

$-z = -2h$

$z = 2h$

Это уравнение плоскости, параллельной данным плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Она находится по ту же сторону от плоскости $\alpha$, что и $\beta$, причем плоскость $\beta$ расположена между $\alpha$ и этой новой плоскостью. Расстояние от плоскости $z=2h$ до плоскости $\alpha$ ($z=0$) равно $2h$, а до плоскости $\beta$ ($z=h$) равно $h$. Отношение расстояний $2h : h = 2:1$ удовлетворяет условию.

2) $z = -2(z-h)$

$z = -2z + 2h$

$3z = 2h$

$z = \frac{2}{3}h$

Это также уравнение плоскости, параллельной данным плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Поскольку $0 < \frac{2}{3}h < h$ (при $h>0$), эта плоскость находится между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Расстояние от этой плоскости до плоскости $\alpha$ равно $\frac{2}{3}h$, а до плоскости $\beta$ равно $| \frac{2}{3}h - h | = \frac{1}{3}h$. Отношение расстояний $(\frac{2}{3}h) : (\frac{1}{3}h) = 2:1$ также удовлетворяет условию. Эта плоскость делит расстояние между данными плоскостями в отношении $2:1$, если считать от плоскости $\alpha$.

Таким образом, искомое ГМТ представляет собой две плоскости, параллельные данным.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две плоскости, параллельные данным. Одна из них расположена между данными плоскостями и делит расстояние между ними в отношении 2:1. Вторая плоскость расположена вне полосы, образованной данными плоскостями, со стороны той плоскости, расстояние до которой должно быть меньше.