Номер 18.3, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.3. На данной плоскости $\alpha$ найдите точки, равноудалённые от данных точек $A$ и $B$.

Для нахождения всех точек на плоскости $α$, равноудалённых от данных точек $A$ и $B$, необходимо рассмотреть геометрическое место точек (ГМТ) в пространстве, удовлетворяющих этому условию. ГМТ точек пространства, равноудалённых от двух данных точек $A$ и $B$, есть плоскость $β$, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через его середину. Искомое множество точек является пересечением данной плоскости $α$ и плоскости $β$. В зависимости от взаимного расположения точек $A$, $B$ и плоскости $α$ возможны три различных решения.

Случай 1: Искомое множество точек — вся плоскость α

Это происходит в двух ситуациях:
1. Точки $A$ и $B$ совпадают ($A = B$). В этом случае любая точка плоскости $α$ равноудалена от $A$ и $B$, так как расстояние в обоих случаях равно нулю.
2. Точки $A$ и $B$ различны, но прямая, проходящая через них, перпендикулярна плоскости $α$, а сама плоскость $α$ проходит через середину отрезка $AB$. В этом случае плоскость $α$ и является плоскостью $β$ (серединным перпендикуляром к отрезку $AB$).
Ответ: Вся плоскость $α$.

Случай 2: Искомое множество точек — прямая

Этот случай реализуется, когда точки $A$ и $B$ различны, и прямая $AB$ не перпендикулярна плоскости $α$. При этом условии плоскость $β$ (серединный перпендикуляр к $AB$) не будет параллельна плоскости $α$, и их пересечением будет прямая. Это справедливо для любого расположения точек $A$ и $B$, не удовлетворяющего условиям случаев 1 и 3, в частности:
• Обе точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $α$.
• Прямая $AB$ параллельна плоскости $α$.
• Прямая $AB$ пересекает плоскость $α$ под углом, отличным от $90^{\circ}$.
Ответ: Прямая, являющаяся пересечением плоскости $α$ и плоскости-серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

Случай 3: Искомых точек не существует

Такая ситуация возникает, когда точки $A$ и $B$ различны, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $α$, но середина отрезка $AB$ не лежит в этой плоскости. В этом случае плоскость $β$ (серединный перпендикуляр к $AB$) параллельна плоскости $α$, но не совпадает с ней. Поскольку параллельные несовпадающие плоскости не пересекаются, в плоскости $α$ нет точек, равноудалённых от $A$ и $B$.
Ответ: Пустое множество (таких точек нет).