Номер 17.29, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.29. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$.

Рассмотрим выпуклый n-гранный угол с вершиной в точке $S$. Его рёбрами являются лучи $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$. Плоскими углами этого многогранного угла являются углы $\angle A_1SA_2, \angle A_2SA_3, \dots, \angle A_nSA_1$. Обозначим их величины как $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Нам нужно доказать, что сумма этих углов $\Sigma = \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n$ меньше $360^\circ$.

Пересечём все рёбра многогранного угла плоскостью, не проходящей через вершину $S$. Точки пересечения плоскости с рёбрами $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ обозначим соответственно $B_1, B_2, \dots, B_n$. Так как многогранный угол выпуклый, в сечении образуется выпуклый n-угольник $B_1B_2\dots B_n$. В результате мы получили n-угольную пирамиду $S B_1B_2\dots B_n$ с вершиной $S$ и основанием $B_1B_2\dots B_n$. Боковыми гранями этой пирамиды являются треугольники $\triangle SB_1B_2, \triangle SB_2B_3, \dots, \triangle SB_nB_1$.

Сумма углов всех этих $n$ боковых треугольников равна $n \cdot 180^\circ$. Эту общую сумму углов можно представить как состоящую из двух частей: во-первых, это сумма плоских углов при вершине $S$, то есть искомая нами величина $\Sigma = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$; во-вторых, это сумма всех углов при вершинах основания $B_1, B_2, \dots, B_n$ (т.е. углы при основаниях боковых граней-треугольников). Обозначим эту вторую сумму как $S_{base\_angles}$. Таким образом, мы можем записать равенство: $n \cdot 180^\circ = \Sigma + S_{base\_angles}$.

Теперь рассмотрим сумму внутренних углов многоугольника $B_1B_2\dots B_n$, лежащего в основании пирамиды. Для выпуклого n-угольника эта сумма, обозначим её $S_{polygon}$, вычисляется по формуле: $S_{polygon} = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Рассмотрим любую вершину основания, например, $B_k$. При этой вершине образуется выпуклый трёхгранный угол с вершиной $B_k$ и рёбрами $B_kS, B_k B_{k-1}, B_k B_{k+1}$ (индексы $k-1$ и $k+1$ понимаются циклически). Плоскими углами этого трёхгранного угла являются: $\angle SB_kB_{k-1}$ и $\angle SB_kB_{k+1}$ (это углы из боковых граней пирамиды), а также $\angle B_{k-1}B_kB_{k+1}$ (это внутренний угол многоугольника в основании).

Согласно свойству выпуклого трёхгранного угла, сумма двух любых его плоских углов больше третьего. Применительно к нашему трёхгранному углу при вершине $B_k$ это даёт неравенство: $ \angle SB_kB_{k-1} + \angle SB_kB_{k+1} > \angle B_{k-1}B_kB_{k+1} $. Записав такие неравенства для каждой из $n$ вершин основания ($B_1, B_2, \dots, B_n$) и сложив их все, мы получим, что сумма всех углов при основаниях боковых граней ($S_{base\_angles}$) больше, чем сумма всех внутренних углов многоугольника в основании ($S_{polygon}$). То есть:$$ S_{base\_angles} > S_{polygon} $$

Теперь подставим в это неравенство выражения для $S_{base\_angles}$ (выраженное из равенства для суммы углов треугольников: $S_{base\_angles} = n \cdot 180^\circ - \Sigma$) и $S_{polygon}$ (равное $(n-2) \cdot 180^\circ$). Получаем:$$ n \cdot 180^\circ - \Sigma > (n-2) \cdot 180^\circ $$Раскроем скобки в правой части:$$ n \cdot 180^\circ - \Sigma > n \cdot 180^\circ - 360^\circ $$Вычтем из обеих частей $n \cdot 180^\circ$:$$ -\Sigma > -360^\circ $$Наконец, умножим обе части неравенства на -1, не забыв при этом изменить знак неравенства на противоположный:$$ \Sigma < 360^\circ $$

Таким образом, мы доказали, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла действительно меньше $360^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше $360^\circ$.