Номер 17.27, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.27. Докажите, что каждый плоский угол выпуклого многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Пусть дан выпуклый многогранный угол с вершиной $S$ и рёбрами $l_1, l_2, \ldots, l_n$, где $n \ge 3$. Плоскими углами этого многогранного угла являются углы между соседними рёбрами: $\alpha_1 = \angle(l_1, l_2)$, $\alpha_2 = \angle(l_2, l_3)$, ..., $\alpha_n = \angle(l_n, l_1)$.

Требуется доказать, что любой из этих плоских углов меньше суммы всех остальных. Без ограничения общности, докажем это для угла $\alpha_n$. То есть, мы докажем неравенство:

$\alpha_n < \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{n-1}$

Доказательство будем проводить, основываясь на свойстве трёхгранного угла, которое является частным случаем данной задачи при $n=3$. Свойство трёхгранного угла гласит: каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Рассмотрим случай $n > 3$. Проведём плоскость через рёбра $l_1$ и $l_3$. Так как многогранный угол выпуклый, эта плоскость разделит его на выпуклый трёхгранный угол с рёбрами $l_1, l_2, l_3$ и выпуклый $(n-1)$-гранный угол с рёбрами $l_1, l_3, l_4, \ldots, l_n$.

Плоскими углами образовавшегося трёхгранного угла являются $\alpha_1 = \angle(l_1, l_2)$, $\alpha_2 = \angle(l_2, l_3)$ и новый угол $\gamma_1 = \angle(l_1, l_3)$. Согласно свойству трёхгранного угла:

$\gamma_1 < \alpha_1 + \alpha_2$

Теперь у нас есть новый $(n-1)$-гранный угол, плоские углы которого: $\gamma_1, \alpha_3, \alpha_4, \ldots, \alpha_{n-1}, \alpha_n$. Угол $\alpha_n$ остался одним из его плоских углов.

Продолжим этот процесс. На следующем шаге проведём плоскость через рёбра $l_1$ и $l_4$, отсекая трёхгранный угол с рёбрами $l_1, l_3, l_4$. Его плоские углы — это $\gamma_1$, $\alpha_3$ и новый угол $\gamma_2 = \angle(l_1, l_4)$. Для него справедливо неравенство:

$\gamma_2 < \gamma_1 + \alpha_3$

Повторяя эту процедуру $n-3$ раза, мы в итоге останемся с трёхгранным углом, образованным рёбрами $l_1, l_{n-1}, l_n$. Его плоскими углами будут $\alpha_{n-1} = \angle(l_{n-1}, l_n)$, $\alpha_n = \angle(l_n, l_1)$ и угол $\gamma_{n-3} = \angle(l_1, l_{n-1})$, полученный на предпоследнем шаге. Для этого последнего трёхгранного угла также справедливо свойство:

$\alpha_n < \gamma_{n-3} + \alpha_{n-1}$

Таким образом, мы получили систему неравенств, последовательно применяя свойство трехгранного угла:

$\alpha_n < \gamma_{n-3} + \alpha_{n-1}$

$\gamma_{n-3} < \gamma_{n-4} + \alpha_{n-2}$

...

$\gamma_2 < \gamma_1 + \alpha_3$

$\gamma_1 < \alpha_1 + \alpha_2$

Теперь, последовательно подставляя неравенства друг в друга, начиная с первого, получим:

$\alpha_n < \gamma_{n-3} + \alpha_{n-1}$

Подставляя выражение для $\gamma_{n-3}$:

$\alpha_n < (\gamma_{n-4} + \alpha_{n-2}) + \alpha_{n-1} = \gamma_{n-4} + \alpha_{n-2} + \alpha_{n-1}$

Продолжая подстановки, мы в конечном счёте дойдём до $\gamma_1$:

$\alpha_n < \gamma_1 + \alpha_3 + \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-1}$

И, наконец, подставив неравенство для $\gamma_1$:

$\alpha_n < (\alpha_1 + \alpha_2) + \alpha_3 + \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-1}$

Что и требовалось доказать. Поскольку выбор угла $\alpha_n$ был произвольным, утверждение справедливо для любого плоского угла выпуклого многогранного угла.

Ответ: Утверждение доказано.