gdz.top
Номер 17.28, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 17. Многогранный угол. Трёхгранный угол - номер 17.28, страница 188.
№17.27
№17.28 (с. 188)
Условие. №17.28 (с. 188)
17.28. Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого $n$-гранного угла больше $180^\circ(n-2)$.
Решение. №17.28 (с. 188)
Решение 2. №17.28 (с. 188)
Для доказательства утверждения воспользуемся методом полярных (или двойственных) многогранных углов.
Рассмотрим выпуклый $n$-гранный угол $S$ с вершиной в точке $O$. Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — его двугранные углы. Нам необходимо доказать, что $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > 180^\circ(n - 2)$.
Построим для угла $S$ полярный (двойственный) $n$-гранный угол $S'$. Его рёбра — это лучи, исходящие из вершины $O$, перпендикулярные граням угла $S$ и направленные в то полупространство (относительно плоскости каждой грани), в котором не лежит угол $S$. Угол $S'$ также является выпуклым $n$-гранным углом.
Согласно свойству полярных многогранных углов, двугранные углы одного угла дополняют соответствующие плоские углы другого до $180^\circ$. Если $\phi'_1, \phi'_2, \dots, \phi'_n$ — это плоские углы полярного угла $S'$, то для каждого $i \in \{1, \dots, n\}$ справедливо равенство:
$\alpha_i + \phi'_i = 180^\circ$
Сложив эти $n$ равенств, получим:
$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \phi'_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ$
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \phi'_i = n \cdot 180^\circ$
Выразим из этого равенства искомую сумму двугранных углов:
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = n \cdot 180^\circ - \sum_{i=1}^{n} \phi'_i$
Воспользуемся известной теоремой стереометрии: сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$.
Применим эту теорему к выпуклому полярному углу $S'$:
$\sum_{i=1}^{n} \phi'_i < 360^\circ$
Подставив это неравенство в выражение для суммы двугранных углов, получаем:
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > n \cdot 180^\circ - 360^\circ$
Наконец, вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки в правой части неравенства:
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i > 180^\circ (n - 2)$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 17.28 расположенного на странице 188 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №17.28 (с. 188), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.