Номер 17.24, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.24. (Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла.) Двугранные углы трёхгранного угла при рёбрах $SA$, $SB$ и $SC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Плоский угол $BSC$ равен $\varphi$. Докажите равенство

$\cos \varphi = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$.

Для доказательства данного равенства, известного как вторая теорема косинусов для трехгранного угла, воспользуемся методами сферической тригонометрии.

Рассмотрим трехгранный угол с вершиной S и ребрами SA, SB, SC. Построим сферу единичного радиуса с центром в вершине S. Пересечение ребер SA, SB, SC со сферой образует на ее поверхности сферический треугольник, который мы обозначим ABC (где точка A лежит на ребре SA, B — на SB, C — на SC).

Элементы этого сферического треугольника напрямую связаны с элементами трехгранного угла. Во-первых, длины сторон сферического треугольника (измеряемые как дуги большого круга) равны соответствующим плоским углам трехгранного угла. Обозначим стороны, противолежащие вершинам A, B, C, как $a, b, c$ соответственно. Тогда по условию сторона $a$ равна плоскому углу $BSC$, то есть $a = \phi$. Во-вторых, углы сферического треугольника при вершинах A, B, C равны соответствующим двугранным углам трехгранного угла при ребрах SA, SB, SC. Таким образом, угол при вершине A равен $\alpha$, при B — $\beta$, и при C — $\gamma$.

В сферической тригонометрии теорема косинусов для углов (также называемая второй теоремой косинусов) связывает три угла сферического треугольника и одну из его сторон. Для угла A и противолежащей ему стороны $a$ эта теорема записывается так:

$\cos A = -\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a$

Подставим в эту формулу величины, соответствующие нашему трехгранному углу: $A = \alpha$, $B = \beta$, $C = \gamma$ и $a = \phi$.

$\cos \alpha = -\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \phi$

Теперь выразим $\cos \phi$ из этого равенства. Перенесем слагаемое $(-\cos \beta \cos \gamma)$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$\cos \alpha + \cos \beta \cos \gamma = \sin \beta \sin \gamma \cos \phi$

Для невырожденного трехгранного угла двугранные углы $\beta$ и $\gamma$ находятся в интервале $(0, \pi)$, поэтому их синусы не равны нулю. Мы можем разделить обе части равенства на произведение $\sin \beta \sin \gamma$:

$\cos \phi = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$

Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $\cos \phi = \frac{\cos \alpha + \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$ доказано.